Exercise 2.1: Linear? Or Non-Linear?

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Wir betrachten die skizzierte Anordnung mit dem Eingangssignal $x(t)$ und dem Ausgangssignal $z(t)$:

Das System $S_1(t)$ ist durch folgende Gleichung beschreibbar: $$y(t) = x(t) + {1 \, \rm V}^{\rm -1} \cdot x^2(t) .$$

Über das System S₂ mit Eingangssignal y(t) und Ausgangssignal z(t) ist nichts weiter bekannt.

Das System S₃ ist die Zusammenschaltung von S₁ und S₂.

An den Eingang wird folgendes Signal angelegt (f₀ = 5 kHz): $$x(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) .$$

Damit erhält man am Ausgang des Gesamtsystems S₃: $$z(t) = {1 \, \rm V} \cdot {\rm sin}(2\pi f_0 t ) .$$

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 2.1. Gegeben ist die folgende trigonometrische Beziehung: $$\cos^2(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot \left[ 1 + \cos(2\alpha)\right] .$$

Fragebogen

1

Wie lautet das Signal y(t)? Welcher Signalwert ergibt sich zum Nullzeitpunkt?

$y(t = 0)$ = $V$

2

Welche richtigen Schlüsse könnte ein Beobachter ziehen, der nur die Signale x(t) und z(t) kennt und keine Information über den Aufbau von S₃ besitzt?

	S3 ist ein ideales System.
	S3 ist ein verzerrungsfreies System.
	S3 ist ein linear verzerrendes System.
	S3 ist ein nichtlinear verzerrendes System.

3

Welche Schlüsse müsste der Beobachter ziehen, wenn ihm alle Informationen von der Angabenseite bekannt sind?

	S2 ist ein verzerrungsfreies System.
	S2 ist ein linear verzerrendes System.
	S2 ist ein nichtlinear verzerrendes System.

4

Welches Signal z(t) könnte sich mit der Eingangsfrequenz f₀ = 10 kHz ergeben?

	Das Signal z(t) = 0.
	Ein Signal der Form z(t) = A · cos(2π · 10 kHz · t), A ≠ 0.
	Ein Signal der Form z(t) = A · cos(2π · 20 kHz · t), A ≠ 0.

Musterlösung

Solution

1.  Aufgrund der Kennlinie mit linearem und quadratischem Anteil gilt:

$$y(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) + {1 \, \rm V}^{\rm -1} \cdot ({2 \, \rm V})^2 \cdot {\rm cos}^2(2\pi f_0 t ) \\ = {2 \, \rm V} \cdot \left[ 1 + {\rm cos}(2\pi f_0 t ) +{\rm cos}(4\pi f_0 t ) \right].$$

Zum Zeitpunkt t = 0 tritt somit der Signalwert 6 V auf.

2.  Ein ideales System kommt wegen z(t) ≠ x(t) nicht in Frage. Die Alternativen 2 und 3 sind möglich. Bei nur einer Frequenz (f₀ = 5 kHz) ist keine Aussage möglich, ob eine zweite Frequenzkomponente ebenfalls um α = 0.5 gedämpft und um τ = T₀/4 = 50 μs verzögert würde. Die letzte Alternative müsste der Beobachter – obwohl teilweise zutreffend – logischerweise verneinen.

3.  Er würde erkennen, dass S₂ ein linear verzerrendes System ist  ⇒  Lösungsvorschlag 2. Bei einem verzerrungsfreien System müsste z(t) zusätzlich noch eine Gleich– und eine 10 kHz–Komponente beinhalten, bei einem nichtlinear verzerrenden System noch größere Frequenzanteile (bei Vielfachen von 10 kHz).

4.  In diesem Fall würde Y(f) Spektrallinien bei f = 0, f = 10 kHz und f = 20 kHz aufweisen. Die auf der Angabenseite beschriebene Messung mit f₀ = 5 kHz hat gezeigt, dass H₂(f = 0) und H₂(f = 10 kHz) jeweils 0 sein werden. Die einzig mögliche Signalform ist somit

$$z(t) = {2 \, \rm V} \cdot H_2 (f = {20 \, \rm kHz})\cdot {\rm cos}(2\pi \cdot {20 \, \rm kHz} \cdot t ) .$$

Möglich sind also die erste und die letzte der genannten Alternativen, je nachdem, ob das System S₂ die Frequenz 20 kHz unterdrückt oder durchlässt  ⇒  Lösungsvorschläge 1 und 3.