Exercise 2.6: Two-Way Channel

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Der so genannte Zweiwegekanal wird durch folgende Impulsantwort charakterisiert (mit $T_1 < T_2$): $$h(t) = z_1 \cdot \delta ( t - T_1) + z_2 \cdot \delta ( t - T_2).$$

• Bis auf wenige Kombinationen der Systemparameter $z_1$, $T_1$, $z_2$ und $T_2$ wird dieser Kanal zu linearen Verzerrungen führen.
• Man spricht nur dann von einem verzerrungsfreien Kanal, wenn durch ihn kein einziges Eingangssignal verzerrt wird.
• Das bedeutet: Auch bei einem verzerrenden Kanal kann es Sonderfälle geben, bei denen tatsächlich $y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau)$ gilt.

Als Testsignale werden an den Systemeingang angelegt:

• ein Diracpuls $x_1(t)$ im Zeitabstand $T_0 = 1 \ \rm ms$ gemäß

$$x_1(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty} \delta ( t - n \cdot T_0) ,$$

dessen Spektralfunktion ebenfalls ein Diracpuls ist, und zwar mit Abstand $f_0 = 1/T_0 = 1 \ \rm kHz$:

$$X_1(f) = T_0 \cdot \sum_{k = - \infty}^{+\infty} \delta ( f - k \cdot f_0) ,$$

• ein Cosinussignal mit der Frequenz $f_2 = 250 \ \rm Hz$:

$$x_2(t) = \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot t) ,$$

• die Summe zweier Cosinussignale mit den Frequenzen $f_2 = 250 \ \rm Hz$ und $f_3 = 1250 \ \rm Hz$:

$$x_3(t) = \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot t) + \cos(2 \pi \cdot f_3 \cdot t) .$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Lineare Verzerrungen.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Um Ihnen einige Rechnungen zu ersparen, wird folgendes Ergebnis für den Parametersatz $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$ und $T_2 = 1 \ \rm ms$ vorweggenommen:

$$|H(f = f_2)| = |H(f = f_3)| = \sqrt{1.25} \approx 1.118, \; \; \; \; b(f = f_2) = b(f = f_3) = \arctan (0.5) \approx 0.464.$$

Fragebogen

1

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

	Der Parametersatz „$z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0$” ist der einzig mögliche zur Beschreibung des idealen Kanals.
	Jeder verzerrungsfreie Kanal wird durch die beiden Kombinationen „$z_1 \ne 0, \; z_2 = 0 $” bzw. „„$z_1 = 0, \; z_2 \ne 0 $”
	Die Werte „$z_1 \ne 0$” und „$z_2 \ne 0$” führen zu einem verzerrungsfreien Kanal, wenn $T_1$ und $T_2$ bestmöglich angepasst sind.

2

Es gelte $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$ und $T_2 = 1 \ \rm ms$. Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$ dieses Kanals. Welche Werte gibt es bei Vielfachen von $1 \ \rm kHz$?

${\rm Re}[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})] \ =$

${\rm Im}[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})] \ =$

3

Am Eingang des Systems mit gleichen Parametern wie in der Teilaufgabe (2) liegt nun der Diracpuls $x_1(t)$ an. Welche Aussagen treffen für das Ausgangssignal $y_1(t)$ zu?

	$y_1(t)$ ist gegenüber $x_1(t)$ um eine Konstante gedämpft/verstärkt.
	$y_1(t)$ ist gegenüber $x_1(t)$ verschoben.
	$y_1(t)$ weist gegenüber $x_1(t)$ Verzerrungen auf.

4

Berechnen Sie das Signal $y_2(t)$ als Systemantwort auf das Cosinussignal $x_2(t)$. Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ auf?

$y_2(t = 0) \ =$

5

Welche Aussagen treffen bezüglich der Signale x₃(t) und y₃(t) zu?

	$y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ keine Verzerrungen auf.
	$y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ Dämpfungsverzerrungen auf.
	$y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ Phasenverzerrungen auf.

Musterlösung

Solution

(1)  Mit $z_1 = 1$, $T_1 = 0$ und $z_2 =0$ ist $h(t) = \delta(t)$ und dementsprechend $H(f) = 1$, so dass stets $y(t) = x(t)$ gelten wird. Jede verzerrungsfreie Kanalimpulsantwort $h(t))$ besteht aus einer einzigen Diracfunktion, zum Beispiel bei $t = T_1$. Dieser Fall ist im Modell durch $z_2 =0$ berücksichtigt. Damit lautet der Frequenzgang: $$H(f)= z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1},$$

und es wird $y(t) = z_1 \cdot x(t- T_1)$ gelten. Dagegen wird der Kanal immer dann zu linearen Verzerrungen führen, wenn gleichzeitig $z_1$ und $z_2$ von $0$ verschieden sind. Richtig sind demnach die Aussagen 1 und 2.

(2)  Die Fouriertransformation der Impulsantwort h(t) führt auf die Gleichung: $$H(f) = z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1}+ z_2\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2} .$$

Mit z₁ = 1, T₁ = 0, z₂ = 0.5, T₂ = 1 ms erhält man daraus: $$H(f) =1 + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2}.$$

Aufgeschlüsselt nach Real– und Imaginärteil liefert dies: $${\rm Re}[H(f)] = 1 + 0.5 \cdot \cos(2 \pi f \cdot 1\,{\rm ms}),\\ {\rm Im}[H(f)] = -0.5 \cdot \sin(2 \pi f \cdot 1\,{\rm ms}).$$

Bei der Frequenz f = f₁ = 1 kHz – und auch allen Vielfachen davon – ist der Realteil gleich 1.5 und der Imaginärteil verschwindet.

(3)  Aus dem Ergebnis aus b) folgt weiter, dass bei allen Vielfachen von f₁ = 1 kHz der Betragsfunktion |H(f)| = 1.5 und die Phasenfunktion b(f) = 0 ist. Damit ist für diese diskreten Frequenzwerte auch die Phasenlaufzeit jeweils 0. Da aber das Spektrum X₁(f) des Diracpulses genau bei diesen Frequenzen Spektrallinien aufweist, gilt y(t) = 1.5 · x(t). Damit ist allein die erste Antwort richtig.

(4)  Die Betragsfunktion lautet: $$|H(f)| = \sqrt{{\rm Re}[H(f)]^2 + {\rm Im}[H(f)]^2} =\\ = \sqrt{1 + 0.25 \cdot \cos^2(2 \pi f \cdot T_2)+ \cos(2 \pi f \cdot T_2) + 0.25 \cdot \sin^2(2 \pi f \cdot T_2)}=\\ = \sqrt{1.25 + \cos(2 \pi f \cdot T_2) }.$$

Für die Frequenz f₂ = 0.25 kHz erhält man somit: $$|H(f)| = \sqrt{1.25 + \cos(\frac{\pi}{2} ) }= \sqrt{1.25} = 1.118.$$

Die Phasenfunktion lautet allgemein bzw. bei der Frequenz f₂: $$b(f) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}[H(f)]}{{\rm Re}[H(f)]} = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin(2 \pi f T_2)}{1+0.5 \cdot \cos(2 \pi f T_2)},$$

$$b(f = f_2) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin( \pi/2)}{1+0.5 \cdot \cos(\pi/2)}={\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{0.5}{1} = 0.464.$$

Damit beträgt die Phasenlaufzeit für diese Frequenz:

$$\tau_2 = \frac {b(f_2)}{2 \pi f_2} = \frac {0.464}{2 \pi \cdot 0.25\,{\rm kHz}} \approx 0.3\,{\rm ms},$$

und es gilt für das Ausgangssignal:

$$y_2(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi \cdot 0.25\,{\rm kHz}\cdot (t - 0.3\,{\rm ms})).$$

Der Signalwert zum Nullzeitpunkt ist somit: $$y_2(t=0) = 1.118 \cdot \cos(-2 \pi \cdot 0.25\,{\rm kHz} \cdot 0.3\,{\rm ms}) \approx 1.118 \cdot 0.891 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.996}.$$

(5)  Beide Frequenzen werden mit dem gleichen Dämpfungsfaktor α = 1.118 beaufschlagt; daher sind keine Dämpfungsverzerrungen festzustellen.

Mit f₃ = 1.25 kHz und T₂ = 1 ms ergibt sich für die Phasenfunktion: $$b(f = f_3) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin( 2.5 \pi)}{1+0.5 \cdot \cos(2.5 \pi)}= 0.464 = b(f = f_2),$$

also genau der gleiche Wert wie bei der Frequenz f₂ = 0.25 kHz. Trotzdem kommt es aber nun zu Phasenverzerrungen, da für f₃ die Phasenlaufzeit nur mehr τ₃ = 60 μs beträgt.

Für das Ausgangssignal kann also geschrieben werden: $$y_3(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot (t - 0.3\,{\rm ms}) + 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_3 \cdot (t - 0.06\,{\rm ms}) = \\ = 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot t - 27^\circ) + 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_3 \cdot t - 27^\circ).$$

Es gibt also Phasenverzerrungen ⇒ Antwort 3, obwohl für beide Schwingungen φ₂ = φ₃ = 27° gilt. Damit keine Phasenverzerrungen auftreten, müssten die Phasenlaufzeiten τ₂ und τ₃ gleich sein und die Phasenwerte φ₂ und φ₃ linear mit den zugehörigen Frequenzen ansteigen.