Exercise 3.2Z: Laplace and Fourier

Die Fourier–Transformation kann für jedes deterministische Signal $x(t)$ angewandt werden. Für die Spektralfunktion gilt dann:

$$X(f) = \int_{-\infty}^{ +\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$

Bei leistungsbegrenzten Signalen – Kennzeichen: unendlich große Energie – beinhaltet $X(f)$ auch Distributionen (Diracfunktionen).

Bei allen kausalen Signalen (und nur bei diesen) ist daneben auch die Laplace-Transformation anwendbar: $$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{ \infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$

In der Grafik sehen Sie verschiedene kausale Zeitfunktionen, die in dieser Aufgabe behandelt werden:

die Diracfunktion $a(t)$,

die Sprungfunktion $b(t)$,

die Rechteckfunktion $c(t)$,

die Rampenfunktion $d(t)$.

Die Gesetzmäßigkeiten der Fourier–Transformation gelten meist (allerdings nicht immer) auch für die Laplace–Transformation, wobei $p ={\rm j} \cdot 2 \pi f$ zu setzen ist:

Zum Beispiel lautet der Verschiebungssatzin Laplace– bzw. Fourier–Darstellung:

$$x(t- \tau) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{-p \tau}\hspace{0.05cm} ,$$

$$x(t- \tau) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X(f)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f \tau}\hspace{0.05cm} .$$

Dagegen ergeben sich beim Integrationssatz Unterschiede:

$$\int {x(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X_{\rm L}(p)\cdot \frac{1}{p}\hspace{0.05cm} ,$$

$$\int {x(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X(f)\cdot \left [ {1}/{2} \cdot{\rm \delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] \hspace{0.05cm} .$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

1. Berücksichtigt man, dass die Diracfunktion nur bei t = 0 ungleich 0 ist und das Integral über den Dirac den Wert 1 liefert, solange das Integrationsintervall den Zeitpunkt t = 0 einschließt, so erhält man:

$$A(f) = 1, \hspace{0.2cm}A_{\rm L}(p) = 1 \hspace{0.05cm} .$$

Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3.

2. Richtig sind wiederum die Lösungsvorschläge 1 und 3. Die Sprungfunktion γ(t) ist das Integral über die Diracfunktion δ(t), so dass man den Integrationssatz anwenden kann:

$$b(t) = \int\limits_{-\infty}^t {a(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_{\rm L}(p) =A_{\rm L}(p)\cdot \frac{1}{p} = \frac{1}{p}\hspace{0.05cm} ,\\ B(f) = A(f)\cdot \left [ \frac{1}{2} \cdot{\rm \delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] = \frac{1}{2} \cdot{\rm \delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm} .$$

3. Richtig sind die vorgeschlagenen Alternativen 2 und 3. Nachdem die (kausale) Rechteckfunktion als Differenz zweier Sprungfunktionen dargestellt werden kann, erhält man mit dem Verschiebungssatz:

$$c(t)= b(t) - b(t-T) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm L}(p) =B_{\rm L}(p)- B_{\rm L}(p) \cdot {\rm e}^{-p T} = \frac{1}{p} \cdot \left [ 1- {\rm e}^{-p T} \right ] \hspace{0.05cm} .$$

Da die Rechteckfunktion eine endliche Energie besitzt, gilt für das Fourierspektrum:

$$C(f) = C_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f}} = \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \cdot \left [ 1- {\rm e}^{-{\rm j} \cdot 2\pi f T} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Nach einigen trigonometrischen Umformungen kann hierfür auch geschrieben werden:

$$C(f) = T \cdot {\rm si} (2 \pi f{T})+ {\rm j} \cdot \frac{{\rm cos} (2 \pi f{T})-1}{2\pi f} \hspace{0.05cm}.$$

4. Richtig ist der erste Lösungsvorschlag. Es gilt:

$$d(t) = \frac{1}{T} \cdot \int\limits_{-\infty}^t {c(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_{\rm L}(p) =C_{\rm L}(p)\cdot \frac{1}{p \cdot T} = \frac{1- {\rm e}^{-p T}}{p^2 \cdot T}\hspace{0.05cm} .$$

Da sich d(t) bis ins Unendliche erstreckt, ist der einfache Zusammenhang zwischen D_L(p) und D(f) entsprechend dem Lösungsvorschlag 3 nicht gegeben. D(f) beinhaltet vielmehr auch eine Diracfunktion bei der Frequenz f = 0.

	$B_{\rm L}(p) = 1/p$.
	$B(f) = 1/({\rm j} \cdot 2 \pi f)$
	$B(f) = 1/2 \cdot \delta(f) - {\rm j}/(2 \pi f)$.

	$C_{\rm L}(p) = {\rm si}(pT)$.
	$C_{\rm L}(p) = [1-{\rm e}^{-pT}]/p$.
	$C(f) = C_{\rm L}(p)$ mit $p = 2 \pi f$.

	$D_{\rm L}(p) = [1-{\rm e}^{-pT}]/(p^2T)$.
	$D_{\rm L}(p) = 1-{\rm e}^{-pT}$.
	$D(f) = D_{\rm L}(p)$ mit $p = 2 \pi f$.

	$A_{\rm L}(p) = 1$.
	$A(f) = \delta(f)$.
	$A(f) = 1$.