Exercise 4.2: Mismatched Line

Ein Übertragungssystem belege den Frequenzbereich von $f_{\rm U} = 10 \ \rm MHz$ bis $f_{\rm O} = 400 \ \rm MHz$. Die verwendete Übertragungsleitung besitze zudem einen konstanten Wellenwiderstand $Z_{\rm W} = 100 \ \rm \Omega$ (reell), was nicht ganz der Realität entspricht, da der Wellenwiderstand meist mit der Frequenz leicht abnimmt und oft auch noch ein (meist kleinerer) Imaginärteil zu berücksichtigen ist.

Die Leitung wird mit einer Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand $R_{\rm 1} = 100 \ \rm \Omega$ gespeist und ist mit dem Widerstand $R_{\rm 2}$ abgeschlossen. Der Eingangswiderstand der Leitung ergibt sich zu $$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}\cdot \frac {R_2 + Z_{\rm W} \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)} {Z_{\rm W}+ R_2 \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}{\rm tanh}(x) = \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}x \in {\cal C} \hspace{0.05cm}.$$ Das Übertragungsmaß soll – wieder sehr vereinfacht – durch eine reelle Funktion angenähert werden: $$\frac {\gamma(f)}{1\,{\rm Np/km}} = \frac {\alpha(f)}{1\,{\rm Np/km}} = \sqrt{f/f_{\rm O}} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}f_{\rm O} = 40\,{\rm MHz}\hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige Ergebnisse der Leitungstheorie.
Insbesondere soll untersucht werden, ob es zu Reflexionen kommt.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

	$Z_{\rm W}$ ist abhängig von der Leitungslänge.
	$Z_{\rm W}$ kann frequenzabhängig sein.
	$Z_{\rm W}$ kann bei bestimmten Frequenzen komplexe Werte annehmen.

	Der Eingangswiderstand $Z_{\rm E}(f)$ ist gleich dem Wellenwiderstand.
	Der Eingangswiderstand $Z_{\rm E}(f)$ ist frequenzunabhängig.
	Der Eingangswiderstand $Z_{\rm E}(f)$ hängt von der Leitungslänge ab.
	$R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$ kennzeichnet die bestmögliche Beschaltung.

$f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}\hspace{-0.1cm}:\ l_\text{min}\ =$

$\ \rm km$

$f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}\hspace{-0.1cm}:\ l_\text{min}\ =$

$\ \rm km$

$f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}\hspace{-0.1cm}:\ l_\text{min}\ =$

$\ \rm km$

$f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}\hspace{-0.1cm}:\ l_\text{min}\ =$

$\ \rm km$

Musterlösung

Solution

1. Der Wellenwiderstand Z_W ist definiert als der Quotient von Spannung und Strom der sich entlang der Leitung ausbreitenden Welle und ist unabhängig vom Ort. Deshalb ist Z_W auch unabhängig von der Leitungslänge und wird allein durch die Leitungsbeläge R', L', G' und C' bestimmt.

Die im Theorieteil angegebene Gleichung

$$Z_{\rm W}(f) = \sqrt{\frac {R' + {\rm j} \cdot \omega L'}{G' + {\rm j} \cdot \omega C'}} \hspace{0.1cm}\bigg |_{\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}$$

macht deutlich, dass der Wellenwiderstand durchaus von der Frequenz abhängt und im allgemeinen auch komplexwertig ist. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 2 und 3.

Besonders anzumerken ist, dass der Wellenwiderstand keinen Widerstand im Sinne eines Verbrauchers darstellt. Er charakterisiert die Leitung nicht als verlustbehaftetes Element. Auch eine verlustlose Leitung besitzt einen Wellenwiderstand und ebenso ist bei der Ausbreitung einer elektromagnetischen Welle stets ein Wellenwiderstand definiert.

2. Mit dem Abschlusswiderstand Z₂(f) = Z_W(f) ist auch der an den Leitungsanfang transformierte Widerstandswert gleich dem Wellenwiderstand, und zwar unabhängig von der Leitungslänge:

$$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}(f)\cdot \frac {Z_{\rm 2}(f) + Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)} {Z_{\rm W}(f)+ Z_{\rm 2}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}= \\ = Z_{\rm W}(f)\cdot \frac {Z_{\rm W}(f) + Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)} {Z_{\rm W}(f)+ Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}= Z_{\rm W}(f) \hspace{0.05cm}.$$

Da in der Aufgabenstellung Z_W(f) = Z_W als frequenzunabhängig vorausgesetzt wurde, ist hier auch der Eingangswiderstand frequenzunabhängig. Dagegen können bei frequenzabhängigem Wellenwiderstand mit einem reellen Abschluss Reflexionen nicht für alle Frequenzen vermieden werden. Die Beschaltung <nobr>R₁ = R₂ = Z_W ⇒ R₁ = Z_E</nobr> ist natürlich stets anzustreben, da dann von der Quelle die maximale Leistung abgegeben wird. Richtig sind also hier die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4.

3. Mit dem Abschlusswiderstand R₂ = 0 folgt aus der angegebenen Gleichung mit reellem γ(f) · l = x:

$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = {\rm tanh}(x) = \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x}}= \frac {{\rm e}^{2x}-1}{{\rm e}^{2x}+1}$$

$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = 0.99 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm e}^{2x} = 199\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} x =\frac{1}{2}\cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(199) \approx 2.65\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$

$$f_{\rm U} = 10\,{\rm MHz:}\hspace{0.2cm}\alpha(f_{\rm U})= 0.5\,{\rm Np/km}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}l_{\rm min}= \frac{2.65\,{\rm Np}}{0.5\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{= 5.3\,{\rm km}} \hspace{0.05cm},\\ f_{\rm O} = 40\,{\rm MHz:}\hspace{0.2cm}\alpha(f_{\rm U})= 1.0\,{\rm Np/km}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}l_{\rm min}\hspace{0.15cm}\underline{= 2.65\,{\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$

Das heißt: Für die Frequenz f_O = 40 MHz genügt bereits eine Leitung der Länge l = 2.65 km, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken. Bei der niedrigeren Frequenz f_U = 10 MHz ist wegen des geringeren Dämpfungsmaßes dafür eine größere Kabellänge erforderlich.

Diese Aussagen beziehen sich natürlich nur auf das Vermeiden von Reflexionen. Insgesamt ist natürlich die niedrigere Signalfrequenz günstiger als die höhere.

4. In gleicher Weise erhält man für R₂ → ∞ (Leerlauf) die Gleichung

$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = \frac{1}{{\rm tanh}(x)} = \frac {{\rm e}^{2x}+1}{{\rm e}^{2x}-1}\hspace{0.05cm}.$$

Im Gegensatz zum Kurzschluss–Fall ergibt sich für den Quotienten Z_E/Z_W nun stets ein Wert größer 1:

$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = 1.01 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm e}^{2x} = 201\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} x =\frac{1}{2}\cdot{\rm ln}\hspace{0.1cm}(201) \approx 2.65\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$

Näherungsweise erhält man hier das gleiche Ergebnis wie bei Teilaufgabe c): Die minimale Kabellänge beträgt etwa 5.3 km (f_U = 10 MHz) bzw. 2.65 km (f_O = 40 MHz).