Exercise 4.14: ACF and CCF for Square Wave Signals

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beträgtWir betrachten ein periodisches Rechtecksignal p(t) mit den beiden möglichen Amplitudenwerten 0V und 1V und der Rechteckdauer T. Die Periodendauer beträgt somit T₀ = 2T.

Darunter ist das Zufallssignal z(t) gezeichnet, das zwischen (2i-1)T und 2iT mit i = ..., –1, 0, +1, ... (im Bild rot hervorgehoben) jeweils z(t) = 0V ist. Dagegen ist in den blau gezeichneten Intervallen zwischen 2iT und (2i+1)T der Signalwert zweipunktverteilt ±1V.

Die Wahrscheinlichkeit, dass in den blau dargestellten Intervallen z(t) = +1V gilt, sei allgemein gleich p und unabhängig von den vorher ausgewürfelten Werten.

Das unterste Signal im nebenstehenden Bild kann aus den beiden ersten konstruiert werden. Es gilt:

$$s(t) = \frac {1}{2} \cdot [p(t) + z(t)].$$

In den rot eingezeichneten Zeitintervallen zwischen (2i-1)T und 2iT (i ganzzahlig) gilt s(t) = 0V, da hier sowohl p(t) als auch z(t) gleich 0 sind. In den dazwischen liegenden Intervallen ist der Amplitudenwert zweipunktverteilt zwischen 0V und 1V, wobei der Wert 1V wieder mit der Wahrscheinlichkeit p auftritt. Oder anders ausgedrückt: Die Signale z(t) und s(t) sind äquivalente Mustersignale des identischen Zufallsprozesses mit bipolarer (–1V, +1V) bzw. unipolarer (0V, 1V) Signaldarstellung.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Lehrstoff von Kapitel 4.4 und Kapitel 4.6. Skizzieren Sie die gesuchten Korrelationsfunktionen jeweils im Bereich von –7T bis +7T.

Fragebogen

1

Berechnen Sie die AKF φ_z(τ) und skizzieren Sie diese für p = 0.25. Welche Werte ergeben sich für τ = 0, τ = 3T und τ = 6T?

φz(τ = 0) = $V^2$

φz(τ = 3T) = $V^2$

φz(τ = 6T) = $V^2$

2

Berechnen Sie nun unter Zuhilfenahme des Ergebnisses aus a) die AKF φ_p(τ). Welche Werte ergeben sich für τ = 0, τ = 3T und τ = 6T?

φp(τ = 0) = $V^2$

φp(τ = 3T) = $V^2$

φp(τ = 6T) = $V^2$

3

Es gelte p = 0.25. Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion φ_pz(τ) für <nobr>τ = 0,</nobr> τ = 3T und <nobr>τ = 6T?</nobr>

φpz(τ = 0) = - $V^2$

φpz(τ = 3T) = $V^2$

φpz(τ = 6T) = - $V^2$

4

Welche AKF φ_c(τ) ergibt sich allgemein für die Summe c(t) = a(t) + b(t)?

	φc(τ) = φa(τ) + φb(τ).
	φc(τ) = φa(τ) + φab(τ) +φba(τ) + φb(τ).
	φc(τ) = φa(τ) ∗ φb(τ).

5

Berechnen Sie unter Berücksichtigung des Ergebnisses von d) die AKF φ_s(τ). Welche Werte ergeben sich mit p = 0.25 für τ = 0, τ = 3T und τ = 6T?

φpz(τ = 0) = $V^2$

φpz(τ = 3T) = $V^2$

φpz(τ = 6T) = $V^2$

Musterlösung

Solution

1.  Der AKF-Wert bei τ = 0 gibt die mittlere Leistung an:

$$\varphi_z ( \tau = 0) = \frac {1}{2} \cdot (1 {\rm V})^2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2}.$$

Für τ = ±T, ±3T, ... ergibt sich φ_z(τ) = 0, während für die Zwischenwerte τ = ±2T, ±4T, ... gilt:

$$\varphi_z ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_z ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}= \\ = \frac {1 {\rm V}^2}{2} \left(p \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm} + \hspace{0.2cm}p \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}(p-1) \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}(p-1)\right) \\ = 0.5\, {\rm V}^2 \left( p^2 \hspace{0.2cm} - \hspace{0.2cm}2p \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}(1-p) \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (1-p)^2 \right) = 0.5\, {\rm V}^2 \cdot (1-2p)^2 .$$

Hierbei steht p für p · (+1) und (p – 1) für (1 – p) · (–1), also jeweils Wahrscheinlichkeit mal normierter Amplitudenwert. Für p = 0.25 ergeben sich diese Zwischenwerte zu 0.125 V².

Die nachfolgende Skizze zeigt den Verlauf von φ_z(τ) für p = 0.25 im Bereich von - 7T ≤ τ ≤ 7T als blaue Kurve. Aufgrund des rechteckförmigen Signalverlaufs ergeben sich eine Summe von Dreieckfunktionen. Für p = 0.5 würden die äußeren (kleineren) Dreiecke verschwinden.

2.  Das Ergebnis ist in der allgemeingültigen Darstellung von (a) als Sonderfall für p = 1 enthalten. Man erhält nun eine periodische AKF (siehe roter Kurvenverlauf in obiger Skizze) mit

$$\varphi_p ( \tau = 0) = \varphi_p ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_p ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2},$$

$$\varphi_p ( \tau = \pm T) = \varphi_p ( \tau = \pm 3T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$

3.  Auch für die KKF ergibt sich für τ = ±T, ±3T, ... stets der Wert 0. Dagegen sind die KKF-Werte für τ = ±2T, ±4T, ... identisch mit denen bei τ = 0:

$$\varphi_{pz} ( \tau = 0) = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}= \\ = \frac {1 {\rm V}^2}{2} \left( p - (1-p)\right) = \frac {2p -1}{2}\, {\rm V}^2 .$$

Man erhält mit p = 0.25 folgende Ergebnisse (siehe grüne Kurve in obiger Skizze):

$$\varphi_{pz} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2},\hspace{0.5cm} \varphi_{pz} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm} \varphi_{pz} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2}.$$

Mit p = 1 würde dagegen z(t) ≡ p(t) gelten und damit natürlich auch φ_pz(τ) ≡ φ_p(τ) ≡ φ_z(τ). Für den Sonderfall p = 0.5 ergäbe sich keine Korrelation zwischen p(t) und z(t): φ_pz(τ) = 0.

4.  Durch Einsetzen von c(t) = a(t) + b(t) in die allgemeine AKF-Definition erhält man:

$$\varphi_c ( \tau ) = \overline{c(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} c(t + \tau)} = \overline{a(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} a(t + \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\overline{a(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} b(t + \tau)} \hspace{0.1cm}\\ + \hspace{0.1cm}\overline{b(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} a(t + \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\overline{b(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} b(t + \tau)}. $$

$$\Rightarrow \hspace{0.5cm} \varphi_c ( \tau ) = \varphi_{a} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ab} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ba} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\varphi_{a} ( \tau ). $$

Richtig ist der Lösungsvorschlag 2. Der Lösungsvorschlag 1 trifft nur zu, wenn a(t) und b(t) unkorreliert sind. Der letzte Vorschlag, die Faltungsoperation, ist immer falsch. Eine ähnliche Gleichung würde sich nur dann ergeben, wenn wir die WDF f_c(c) der Summe c(t) = a(t) + b(t) betrachten und a(t) und b(t) statistisch unabhängig sind:

$$f_c (c) = f_a (a) \star f_b (b) .$$

5.  Mit dem Ergebnis von (4) und unter Berücksichtigung des Faktors 1/2 erhält man:

$$\varphi_s ( \tau ) = \frac{1}{4} \left( \varphi_{p} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{z} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 2 \cdot \varphi_{pz} ( \tau ) \right) . $$

Hierbei ist bereits berücksichtigt, dass die KKF zwischen p und z eine gerade Funktion ist, so dass auch φ_pz(τ) = φ_zp(τ) gilt. Für τ = 0 erhält man deshalb mit den obigen Ergebnissen allgemein:

$$\varphi_s( \tau = 0) = \frac {1 }{4} \left( 0.5 {\rm V}^2 +0.5 {\rm V}^2 + 2 \cdot \frac{2p-1}{2} {\rm V}^2\right) .$$

Mit p = 0.25 ergibt sich φ_zp(τ = 0) = 0.125 V². Dieses Ergebnis ist plausibel. Im Mittel ist nur in jedem achten Intervall s(t) = 1 V; ansonsten ist s(t) = 0 V.

Für geradzahlige Vielfache von T gilt:

$$ \varphi_s ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_s ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm} = \\ = \frac {0.5 {\rm V}^2}{4} \left( (1-2p)^2 +1 + 2 \cdot (2p -1)\right) = 0.5 \, {\rm V}^2 \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} p^2.$$

Mit p = 0.25 erhält man hierfür den Wert 0.03125 V². Alle AKF-Werte bei ungeradzahligen Vielfachen von T sind wieder 0. Damit ergibt sich folgende AKF:

Die gesuchten Zahlenwerte sind somit:

$$\varphi_{s} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.125 {\rm V}^2},\hspace{0.5cm} \varphi_{s} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm} \varphi_{s} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.03125 {\rm V}^2}.$$

Ein Vergleich mit der Skizze zur Aufgabe (a) zeigt, dass das binäre Signal s(t) bis auf den Faktor 1/4 die gleiche AKF aufweist wie das Ternärsignal z(t).