Exercise 3.1: Cosine-square PDF and PDF with Dirac Functions

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Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (WDF) zweier Zufallsgrößen $x$ und $y$.

• Die WDF der Zufallsgröße $x$ lautet in analytischer Form:

$$f_x(x)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}}A \cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x) &\rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm} -2\le \it x\le \rm 2, \\0 & \rm sonst. \\\end{array}\right.$$

• Dagegen besteht die WDF der Zufallsgröße $y$ aus insgesamt fünf Diracfunktionen mit den in der unteren Grafik angegebenen Gewichten.

Betrachtet man diese Zufallsgrößen als Momentanwerte zweier Zufallssignale $x(t)$ und $y(t)$, so ist offensichtlich, dass beide Signale auf den Bereich $\pm 2$ „amplitudenbegrenzt“ sind. Betragsmäßig größere Werte kommen nicht vor.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
• Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Es gilt folgende Gleichung:

$$\int \cos^{\rm 2}( ax)\, {\rm d}x=\frac{x}{2}+\frac{1}{4 a}\cdot \sin(2 ax).$$

Fragebogen

1

Welche der nachfolgenden Aussagen treffen uneingeschränkt zu?

	Die Zufallsgröße $x$ ist wertkontinuierlich.
	Die Zufallsgröße $y$ ist wertdiskret.
	Die Zufallsgröße $y$ ist gleichzeitig zeitdiskret.
	Die WDF sagt nichts aus bzgl. „zeitdiskret/zeitkontinuierlich”.

2

Berechnen Sie den Parameter $A$ der WDF $f_x(x)$.

$A \ =$

3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass exakt $x = 0$ ist?

${\rm Pr}(x = 0)\ =$

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x > 0$ ist?

${\rm Pr}(x > 0)\ =$

5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y > 0$ ist?

${\rm Pr}(y > 0)\ =$

6

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y$ betragsmäßig kleiner als $1$ ist?

${\rm Pr}(|y| <1)\ =$

7

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ betragsmäßig kleiner als 1 ist?

${\rm Pr}(|x| <1)\ =$

Musterlösung

Solution

1.  Richtig sind die Aussagen 1, 2 und 4: x ist wertkontinuierlich und y wertdiskret (M = 5). Die WDF liefert keine Aussagen darüber, ob eine Zufallsgröße zeitdiskret oder zeitkontinuierlich ist.

2.  Die Fläche unter der WDF muss 1 ergeben. Durch einfache geometrische Überlegungen kommt man zum Ergebnis A = 0.5.

3.  Die Wahrscheinlichkeit, dass die wertkontinuierliche Zufallsgröße x einen festen Wert x₀ annimmt, ist stets vernachlässigbar klein  ⇒  Pr(x = 0) = 0. Für die wertdiskrete Zufallsgröße y gilt dagegen gemäß der Angabe: Pr(y = 0) = 0.4 (Gewicht der Diracfunktion bei y = 0).

4.  Wegen Pr(x = 0) und der WDF-Symmetrie ergibt sich Pr(x > 0) = 0.5.

5.  Da y eine diskrete Zufallsgröße ist, addieren sich die Wahrscheinlichkeiten für y = 1 und y = 2:

$$\rm Pr(\it y >\rm 0) = \rm Pr(\it y = \rm 1) + \rm Pr(\it y = \rm 2) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}.$$

6.  Das Ereignis „| y | < 1” ist hier identisch mit „y = 0”. Damit erhält man:

$$\rm Pr(|\it y| < \rm 1) = \rm Pr(\it y = \rm 0)\hspace{0.15cm}\underline { = 0.4}.$$

7.  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Integral von -1 bis +1 über die WDF der kontinuierlichen Zufallsgröße x. Unter Berücksichtigung der Symmetrie und der angegebenen Gleichung erhält man:

$$\rm Pr(|\it x|<\rm 1)=\rm 2 \cdot \int_{0}^{1}\frac{1}{2}\cdot cos^2(\frac{\pi}{4}\cdot \it x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=\frac{x}{\rm 2}+\frac{\rm 1}{\pi}\cdot\rm sin(\frac{\pi}{2}\cdot\it x)\Bigg |_{\rm 0}^{\rm 1}=\rm\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.818}.$$