Exercise 3.2: CDF for Exercise 3.1

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Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie bei Aufgabe 3.1.

• Die WDF der wertkontinuierlichen Zufallsgröße ist in den Bereichen $|x| > 2$ identisch Null, und im Bereich $-2 \le x \le +2$ gilt:

$$f_x(x)={1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x).$$

• Auch die diskrete Zufallsgröße $y$ ist auf den Bereich $\pm 2$ begrenzt. Es gelten folgende Wahrscheinlichkeiten:

$${\rm \Pr}(y=0)=0.4,$$

$${\rm \Pr}(y=+1)={\rm \Pr}(y=-1)=0.2,$$

$${\rm \Pr}(y=+2)={\rm \Pr}(y=-2)=0.1.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
• Eine Zusammenfassung der hier behandelten Thematik bietet das Lernvideo Zusammenhang zwischen WDF und VTF.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Gegeben ist die folgende Gleichung:

$$\int \cos^{\rm 2}( ax)\, {\rm d}x=\frac{x}{2}+\frac{1}{4 a}\cdot \sin(2 ax).$$

Fragebogen

1

Welche der nachfolgenden Aussagen sind für die Verteilungsfunktion $F_x(r)$ der wertkontinuierlichen Zufallsgröße $x$ richtig?

	Die VTF ist für alle Werte $r \le -2$ gleich $F_x(r) \equiv 0$.
	Die VTF ist für alle Werte $r \ge +2$ gleich $F_x(r) \equiv 1$.
	Der Verlauf von $F_x(r)$ ist monoton steigend.

2

Welche der nachfolgenden Aussagen sind für die Verteilungsfunktion $F_y(r)$ der wertdiskreten Zufallsgröße $y$ richtig?

	Die VTF ist für alle Werte $r \le -2$ gleich $F_y(r) \equiv 0$.
	Die VTF ist für alle Werte $r \ge +2$ gleich $F_y(r) \equiv 1$.
	Der Verlauf von $F_y(r)$ ist monoton steigend.

3

Berechnen Sie die Verteilungsfunktion $F_x(r)$. Beschränken Sie sich hier auf den Bereich $0 \le r \le +2$. Welcher Wert ergibt sich für $r = +1$?

$F_x(r=+1) \ = $

4

Welcher Zusammenhang besteht zwischen $F_x(r)$ und $F_x(-r)$? Geben Sie den VTF-Wert für $-1$ ein.

$F_x(r=-1) \ = $

5

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ betragsmäßig kleiner als $1$ ist. Vergleichen Sie das Resultat mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (7) von Aufgabe 3.1.

${\rm Pr}(|x| < 1) \ = $

6

Welchen Wert erhält man für die Verteilungsfunktion der diskreten Zufallsgröße $y$ an der Stelle $r = 0$?

$F_y(r = 0)\ = $

Musterlösung

Solution

1.  Da x eine kontinuierliche Zufallsgröße und auf den Bereich |x| < 2 begrenzt ist, sind alle drei vorgegebenen Aussagen richtig.

2.  Bei einer diskreten Zufallsgröße steigt die Verteilungsfunktion nur schwach monoton an, d. h. es gibt außer Sprüngen ausschließlich horizontale Abschnitte der VTF. Da an den Sprungstellen jeweils der rechtsseitige Grenzwert gilt, ist demzufolge F_y(–2) = 0.1, also ungleich 0. Richtig sind somit die Aussagen 2 und 3.

3.  Die VTF F_x(r) berechnet sich als das Integral von –∞ bis r über die WDF f_x(x). Aufgrund der Symmetrie kann hierfür im Bereich 0 ≤ r ≤ 2 geschrieben werden:

$$\it F_{\it x} (\it r) =\rm \frac{1}{2} + \rm \int\limits_{0}^{\it r} \it f_x(x)\;{\rm d}x = \rm \frac{1}{2} + \int\limits_{0}^{\it r}\rm \frac{1}{2}\cdot cos^2 (\frac{\pi}{4}\cdot \it x)\;{\rm d}x.$$

In gleicher Weise wie bei Aufgabe A3.1(g) erhält man somit:

$$\it F_{\it x} (\it r) =\rm \frac{1}{2} + \frac{\it r}{\rm 4} + \rm \frac{1}{2 \pi} \cdot\rm sin({\pi}/{2}\cdot \it r),$$

$$\it F_{\it x} (\it r= \rm 0) =\rm \frac{1}{2} + \rm \frac{1}{2 \pi} \cdot\rm sin(\rm 0)\hspace{0.15cm}{= 0.500},$$

$$\it F_{\it x}(\it r=\rm 1) =\rm \frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm 4} + \rm \frac{1}{2 \pi}\cdot \rm sin({\pi}/{2})\hspace{0.15cm}\underline{=0.909},$$

$$\it F_{\it x}(\it r=\rm 2) =\rm \frac{1}{2} + \frac{\rm1}{\rm 2} + \rm \frac{1}{2 \pi} \cdot \rm sin(\pi)\hspace{0.15cm}{= 1.000}.$$

4.  Aufgrund der Punktsymmetrie um r = 0 bzw. F_x(0) = 1/2 und wegen sin(–x) = –sin(x) gilt diese Formel im gesamten Bereich, wie die folgende Kontrollrechnung zeigt:

$$\it F_{\it x}(\it r=\rm -2) =\rm \frac{1}{2} - \frac{\rm1}{\rm 2} - \rm \frac{1}{2 \pi} \cdot\rm sin(\pi)=0,$$

$$\it F_{\it x}(\it r=\rm -1) =\rm \frac{1}{2} - \frac{\rm1}{\rm 4} - \rm \frac{1}{2 \pi} \cdot\rm sin({\pi}/{2})\hspace{0.15cm}\underline{= 0.091}.$$

5.  Für die Wahrscheinlichkeit, dass x zwischen -1 und +1 liegt, gilt:

$$\rm Pr(|\it x|<\rm 1)=\it F_{\it x}(\rm 1) - \it F_{\it x}(-\rm 1)= 0.909-0.091\hspace{0.15cm}\underline{= 0.818}.$$

Dieses Ergebnis stimmt exakt mit dem Resultat von Aufgabe A3.1(g) überein, das durch direkte Integration über die WDF ermittelt wurde.

6.  Die VTF der diskreten Zufallsgröße y an der Stelle 0 ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten von –2, –1 und 0, also gilt F_y(r = 0) = 0.7.