Exercise 3.3: Moments for Cosine-square PDF

Wie in Aufgabe 3.1 und Aufgabe 3.2 betrachten wir die auf den Wertebereich von $-2$ bis $+2$ beschränkte Zufallsgröße $x$ mit folgender WDF in diesem Abschnitt: $$f_x(x)= {1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot { x}).$$

Daneben betrachten wir eine zweite Zufallsgröße $y$ , die nur Werte zwischen $0$ und $2$ mit folgender WDF liefert: $$f_y(y)=\sin^2({\pi}/{2}\cdot y).$$

Beide Dichtefunktionen sind in der Grafik dargestellt. Außerhalb der Bereiche $-2 < x < +2$ bzw. $0 < x < +2$ gilt jeweils $f_x(x) = 0$ bzw. $f_y(y) = 0$.

Weiter ist anzumerken, dass die beiden Zufallsgrößen als (normierte) Momentanwerte der zugehörigen Zufallssignale $x(t)$ bzw. $y(t)$ aufgefasst werden können.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erwartungswerte und Momente.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Für die Lösung dieser Aufgabe können Sie das folgende unbestimmte Integral benutzen:

$$\int x^{2}\cdot {\cos}(ax)\,{\rm d}x=\frac{2 x}{ a^{ 2}}\cdot \cos(ax)+ \left [\frac{x^{\rm 2}}{\it a} - \frac{\rm 2}{\it a^{\rm 3}} \right ]\cdot \rm sin(\it ax \rm ) .$$

Fragebogen

	$m_2 = 0$, falls $m_1 \ne 0$.
	$m_2 = 0$, falls $m_1 = 0$.
	$m_1 = 0$, falls $m_2 = 0$.
	$m_2 > \sigma^2$, falls $m_1 \ne 0$.
	$m_1 = 0$, falls $f_x(-x) = f_x(x)$.
	$f_x(-x) = f_x(x)$, falls $m_1 = 0$.

$m_x \ = $

$\sigma_x \ = $

	$y = 1+x/2.$
	$y = 2x.$
	$y = x/2-1.$

$m_y\ = $

$\sigma_y\ = $

Musterlösung

Solution

(1) Unter allen Umständen richtig sind die Aussagen 3, 4 und 5:

Die erste Aussage ist nie erfüllt, wie aus dem Satz von Steiner ersichtlich ist.
Die zweite Aussage gilt nur im Sonderfall $x = 0$.

Es gibt aber auch mittelwertfreie Zufallsgrößen mit unsymmetrischer WDF. Das bedeutet: Die Aussage 6 trifft nicht immer zu.

(2) Aufgrund der WDF-Symmetrie bezüglich $x = 0$ ergibt sich für den linearen Mittelwert $m_x \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$.

(3) Der Effektivwert des Signals $x(t)$ ist gleich der Streuung $\sigma_x$ bzw. gleich der Wurzel aus der Varianz $\sigma_x^2$. Da die Zufallsgröße $x$ den Mittelwert $m_x {= 0}$ aufweist, ist die Varianz nach dem Satz von Steiner gleich dem quadratischen Mittelwert. Dieser wird in Zusammenhang mit Signalen auch als die Leistung (bezogen auf $1 \ \rm \Omega$) bezeichnet. Somit gilt: $$\sigma_x^{\rm 2}=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{\rm 2}\cdot f_x(x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=2 \cdot \int_{\rm 0}^{\rm 2} x^2/2 \cdot \cos^2({\pi}/4\cdot\it x)\hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$

Mit der Beziehung $\cos^2(\alpha) = 0.5 \cdot [1 + \cos(2\alpha)]$ folgt daraus: $$\sigma_x^2=\int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{\rm 2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x + \int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{2}\cdot \cos({\pi}/{\rm 2}\cdot\it x) \hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$

Diese beiden Standardintegrale findet man in Tabellen. Man erhält mit $a = \pi/2$: $$\sigma_x^{\rm 2}=\left[\frac{x^{\rm 3}}{\rm 6} + \frac{x}{a^2}\cdot {\cos}(a x) + \left( \frac{x^{\rm2}}{{\rm2}a} - \frac{1}{a^3} \right) \cdot \sin(a \cdot x)\right]_{x=0}^{x=2} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{x}^{\rm 2}=\frac{\rm 4}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm \pi^2}\approx 0.524\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.722}.$$

(4) Richtig ist der erstgenannte Vorschlag:

Die Variante $y = 2x$ würde eine zwischen $-4$ und $+4$ verteilte Zufallsgröße liefern.
Beim letzten Vorschlag $y = x/2-1$ wäre der Mittelwert $m_y = -1$.

(5) Aus der Grafik auf dem Angabenblatt ist bereits offensichtlich, dass $m_y \hspace{0.15cm}\underline{=+1}$ gelten muss.

(6) Der Mittelwert ändert nichts an der Varianz und an der Streuung. Durch die Stauchung um den Faktor $2$ wird die Streuung gegenüber Teilaufgabe (3) ebenfalls um diesen Faktor kleiner: $$\sigma_y=\sigma_x/\rm 2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.361}.$$