Exercise 3.4: Characteristic Function

Gegeben seien hier die drei Zufallsgrößen $x$, $y$ und $z$ durch ihre jeweiligen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen:

Über die Zufallsgröße $x$ ist nichts weiter bekannt: Diese kann sowohl eine diskrete als auch eine kontinuierliche Zufallsgröße sein und eine beliebige WDF $f_x(x)$ besitzen. Der Mittelwert ist allgemein gleich $m_x$.
Die Zufallsgröße $y$ kann nur Werte im Bereich zwischen $1$ bis $3$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen ⇒ Mittelwert $m_y = 2$.
Die Zufallsgröße $z$ besitzt die folgende charakteristische Funktion:

$$C_z ({\it \Omega} ) = {\mathop{\rm si}\nolimits}( {3{\it \Omega}} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2{\it \Omega} } ).$$

Daneben wird noch der qualitative Verlauf der WDF $f_z(z)$ entsprechend der blauen Skizze als bekannt vorausgesetzt. Zu bestimmen sind die WDF-Parameter $a$, $b$ und $c$ dieser WDF.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erwartungswerte und Momente.
Insbesondere wird auf die Seite Charakteristische Funktion Bezug genommen.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Die charakteristische Funktion einer zwischen $\pm a$ gleichverteilten Zufallsgröße $z lautet:

$$C_z ( {\it \Omega} ) = {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {a {\it \Omega} } )\quad {\rm{mit}}\quad {\mathop{\rm si}\nolimits}( x ) = \sin ( x )/x.$$

Fragebogen

	$C_x ( {\it \Omega} )$ ist die Fouriertransformierte von $f_x(x)$.
	Der Realteil von $C_x ( {\it \Omega} )$ ist eine gerade Funktion in ${\it \Omega}$.
	Der Imaginärteil von $C_x ( {\it \Omega} )$ ist eine ungerade Funktion in ${\it \Omega}$.
	Der Wert an der Stelle ${\it \Omega} = 0$ ist stets $C_x ( {\it \Omega} ) = 1$.
	Bei mittelwertfreier Zufallsgröße ($m_x = 0$) ist $C_x ( {\it \Omega} )$ stets reell.

${\rm Re}[C_y(\Omega\ =\ \pi/2)] \ = $

${\rm Im}[C_y(\Omega\ =\ \pi/2)] \ = $

$a \ = $

$b \ = $

$c \ = $

Musterlösung

Solution

1. C_x(Ω) ist nicht die Fouriertransformierte zu f_x(x), sondern die Fourierrücktransformierte:

$$C_x( {\it \Omega } ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_x }( x )\cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega x}} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}x .$$

Auch bei dieser ist der Realteil stets gerade und der Imaginärteil ungerade. Für Ω = 0 gilt:

$$C_x( {\it \Omega} = 0 ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_x }( x ) \hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = 1.$$

Die letzte Alternative trifft nicht immer zu: Eine zweipunktverteilte Zufallsgröße x ∈ {–1; +3} mit den Wahrscheinlichkeiten 0.75 und 0.25 ist zwar mittelwertfrei (m_x = 0), besitzt aber trotzdem eine komplexe charakteristische Funktion. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4.

2. Entsprechend der allgemeinen Definition gilt:

$$C_y( {\it \Omega } ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_y }( y )\cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega y}} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y = 0.5\int_1^3 {{\rm{e}}^{{\rm{j}}\Omega y} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y.} $$

Nach Lösen dieses Integrals ergibt sich:

$$C_y ( {\it \Omega } ) = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}3{\it \Omega } } - {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega } } }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega } } - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}{\it \Omega }} }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}{\it \Omega } } .$$

Mit dem Satz von Euler kann hierfür auch geschrieben werden:

$$C_y ( {\it \Omega } ) = \frac{{\sin ( {\it \Omega } )}}{{\it \Omega } } \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}{\it \Omega } } .$$

Für Ω = π/2 erhält man somit einen rein reellen Zahlenwert:

$${\rm Re}[C_y ({\it \Omega} = {\rm{\pi }}/2 )] = \frac{{\sin( {{\rm{\pi }}/2})}}{{{\rm{\pi }}/2}} \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j\pi }}} = - \frac{2}{{\rm{\pi }}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.637}, \hspace{0.5cm} {\rm Im}[C_y ({\it \Omega} = {\rm{\pi }}/2 )] \hspace{0.15cm}\underline{= 0} .$$

3. Aus der angegebenen Korrespondenz kann abgelesen werden, dass si(3Ω) auf eine zwischen ±3 gleichverteilte Zufallsgröße zurückgeht und si(2Ω) die Transformierte einer Gleichverteilung zwischen ±2 angibt. In der charakteristischen Funktion sind diese beiden Anteile multiplikativ verknüpft. Damit ist die resultierende WDF f_z(z) die Faltung dieser beiden Rechteckfunktionen:

Die drei WDF-Parameter lauten somit:

$$\hspace{0.15cm}\underline{a = 1},\quad \hspace{0.15cm}\underline{b = 5}, \quad \hspace{0.15cm}\underline{c = 1/6}.$$