Exercise 4.14: ACF and CCF for Square Wave Signals

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AKF und KKF bei Rechtecken

Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal $p(t)$ entsprechend der oberen Skizze mit den beiden möglichen Amplitudenwerten $0 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ und der Rechteckdauer $T$. Die Periodendauer beträgt somit $T_0 = 2T$.

Darunter ist das Zufallssignal $z(t)$ gezeichnet.

• Dieses ist zwischen $(2i-1)T$ und $2i T$ mit $i=$ ... , $-1, 0, +1$, ... (im Bild rot hervorgehoben) jeweils $z(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$.
• Dagegen ist in den blau gezeichneten Intervallen zwischen $(2i+1) \cdot T$ der Signalwert zweipunktverteilt $\pm 1 \hspace{0.05cm} \rm V$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass in den blau dargestellten Intervallen $z(t)=+1 \hspace{0.05cm} \rm V$ gilt, sei allgemein gleich $p$ und unabhängig von den vorher ausgewürfelten Werten.

Das unterste Signal in nebenstehender Grafik kann aus den beiden ersten konstruiert werden. Es gilt:

$$s(t) = {1}/{2} \cdot [p(t) + z(t)].$$

In den rot eingezeichneten Zeitintervallen zwischen $(2i-1)T$ und $2i T$ ($i$ ganzzahlig) gilt $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$, da hier sowohl $p(t)$ als auch $z(t)$ gleich $0$ sind. In den dazwischen liegenden Intervallen ist der Amplitudenwert zweipunktverteilt zwischen $0 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $1 \hspace{0.05cm} \rm V$, wobei der Wert $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ wieder mit der Wahrscheinlichkeit $p$ auftritt.

Oder anders ausgedrückt: Die Signale $z(t)$ und $s(t)$ sind äquivalente Mustersignale des identischen Zufallsprozesses mit bipolarer $(-1 \hspace{0.05cm} \rm V, +1 \hspace{0.05cm} \rm V)$ bzw. unipolarer $(0 \hspace{0.05cm} \rm V, 1 \hspace{0.05cm} \rm V)$ Signaldarstellung.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte.
• Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Autokorrelationsfunktion.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Skizzieren Sie die gesuchten Korrelationsfunktionen jeweils im Bereich von $-7T$ bis $7T$.

Fragebogen

1

Berechnen Sie die AKF $\varphi_z(\tau)$ und skizzieren Sie diese für $p = 0.25$. Welche Werte ergeben sich für $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$?

$\varphi_z(\tau= 0) \ = $ $\ \rm V^2$

$\varphi_z(\tau= 3T) \ = $ $\ \rm V^2$

$\varphi_z(\tau= 6T) \ = $ $\ \rm V^2$

2

Berechnen Sie nun unter Zuhilfenahme des Ergebnisses aus (1) die AKF $\varphi_p(\tau)$. Welche Werte ergeben sich für $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$?

$\varphi_p(\tau= 0) \ = $ $\ \rm V^2$

$\varphi_p(\tau= 3T) \ = $ $\ \rm V^2$

$\varphi_p(\tau= 6T) \ = $ $\ \rm V^2$

3

Es gelte wieder $p = 0.25$. Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion $\varphi_{pz}(\tau)$) für $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$?

$\varphi_{pz}(\tau= 0) \ = $ $\ \rm V^2$

$\varphi_{pz}(\tau= 3T) \ = $ $\ \rm V^2$

$\varphi_{pz}(\tau= 6T) \ = $ $\ \rm V^2$

4

Welche AKF $\varphi_c(\tau)$ ergibt sich allgemein für die Summe $c(t) = a(t) + b(t)$?

	$\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) + \varphi_b(\tau)$.
	$\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) + \varphi_{ab}(\tau) + \varphi_{ba}(\tau) + \varphi_b(\tau)$).
	$\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) \star \varphi_b(\tau)$.

5

Berechnen Sie unter Berücksichtigung des Ergebnisses von (4) die AKF $\varphi_s(\tau)$. Welche Werte ergeben sich mit $p = 0.25$ für $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$?

$\varphi_s(\tau= 0) \ = $ $\ \rm V^2$

$\varphi_s(\tau= 3T) \ = $ $\ \rm V^2$

$\varphi_s(\tau= 6T) \ = $ $\ \rm V^2$

Musterlösung

Solution

(1)  Der AKF-Wert bei τ = 0 gibt die mittlere Leistung an:

$$\varphi_z ( \tau = 0) = \frac {1}{2} \cdot (1 {\rm V})^2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2}.$$

Für τ = ±T, ±3T, ... ergibt sich φ_z(τ) = 0, während für die Zwischenwerte τ = ±2T, ±4T, ... gilt:

$$\varphi_z ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_z ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}= \\ = \frac {1 {\rm V}^2}{2} \left(p \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm} + \hspace{0.2cm}p \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}(p-1) \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}(p-1)\right) \\ = 0.5\, {\rm V}^2 \left( p^2 \hspace{0.2cm} - \hspace{0.2cm}2p \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}(1-p) \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (1-p)^2 \right) = 0.5\, {\rm V}^2 \cdot (1-2p)^2 .$$

Hierbei steht p für p · (+1) und (p – 1) für (1 – p) · (–1), also jeweils Wahrscheinlichkeit mal normierter Amplitudenwert. Für p = 0.25 ergeben sich diese Zwischenwerte zu 0.125 V².

Die nachfolgende Skizze zeigt den Verlauf von φ_z(τ) für p = 0.25 im Bereich von - 7T ≤ τ ≤ 7T als blaue Kurve. Aufgrund des rechteckförmigen Signalverlaufs ergeben sich eine Summe von Dreieckfunktionen. Für p = 0.5 würden die äußeren (kleineren) Dreiecke verschwinden.

(2)  Das Ergebnis ist in der allgemeingültigen Darstellung von (a) als Sonderfall für p = 1 enthalten. Man erhält nun eine periodische AKF (siehe roter Kurvenverlauf in obiger Skizze) mit

$$\varphi_p ( \tau = 0) = \varphi_p ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_p ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2},$$

$$\varphi_p ( \tau = \pm T) = \varphi_p ( \tau = \pm 3T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$

(3)  Auch für die KKF ergibt sich für τ = ±T, ±3T, ... stets der Wert 0. Dagegen sind die KKF-Werte für τ = ±2T, ±4T, ... identisch mit denen bei τ = 0:

$$\varphi_{pz} ( \tau = 0) = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}= \\ = \frac {1 {\rm V}^2}{2} \left( p - (1-p)\right) = \frac {2p -1}{2}\, {\rm V}^2 .$$

Man erhält mit p = 0.25 folgende Ergebnisse (siehe grüne Kurve in obiger Skizze):

$$\varphi_{pz} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2},\hspace{0.5cm} \varphi_{pz} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm} \varphi_{pz} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2}.$$

Mit p = 1 würde dagegen z(t) ≡ p(t) gelten und damit natürlich auch φ_pz(τ) ≡ φ_p(τ) ≡ φ_z(τ). Für den Sonderfall p = 0.5 ergäbe sich keine Korrelation zwischen p(t) und z(t): φ_pz(τ) = 0.

(4)  Durch Einsetzen von c(t) = a(t) + b(t) in die allgemeine AKF-Definition erhält man:

$$\varphi_c ( \tau ) = \overline{c(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} c(t + \tau)} = \overline{a(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} a(t + \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\overline{a(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} b(t + \tau)} \hspace{0.1cm}\\ + \hspace{0.1cm}\overline{b(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} a(t + \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\overline{b(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} b(t + \tau)}. $$

$$\Rightarrow \hspace{0.5cm} \varphi_c ( \tau ) = \varphi_{a} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ab} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ba} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\varphi_{a} ( \tau ). $$

Richtig ist der Lösungsvorschlag 2. Der Lösungsvorschlag 1 trifft nur zu, wenn a(t) und b(t) unkorreliert sind. Der letzte Vorschlag, die Faltungsoperation, ist immer falsch. Eine ähnliche Gleichung würde sich nur dann ergeben, wenn wir die WDF f_c(c) der Summe c(t) = a(t) + b(t) betrachten und a(t) und b(t) statistisch unabhängig sind:

$$f_c (c) = f_a (a) \star f_b (b) .$$

(5)  Mit dem Ergebnis von (4) und unter Berücksichtigung des Faktors 1/2 erhält man:

$$\varphi_s ( \tau ) = \frac{1}{4} \left( \varphi_{p} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{z} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 2 \cdot \varphi_{pz} ( \tau ) \right) . $$

Hierbei ist bereits berücksichtigt, dass die KKF zwischen p und z eine gerade Funktion ist, so dass auch φ_pz(τ) = φ_zp(τ) gilt. Für τ = 0 erhält man deshalb mit den obigen Ergebnissen allgemein:

$$\varphi_s( \tau = 0) = \frac {1 }{4} \left( 0.5 {\rm V}^2 +0.5 {\rm V}^2 + 2 \cdot \frac{2p-1}{2} {\rm V}^2\right) .$$

Mit p = 0.25 ergibt sich φ_zp(τ = 0) = 0.125 V². Dieses Ergebnis ist plausibel. Im Mittel ist nur in jedem achten Intervall s(t) = 1 V; ansonsten ist s(t) = 0 V.

Für geradzahlige Vielfache von T gilt:

$$ \varphi_s ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_s ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm} = \\ = \frac {0.5 {\rm V}^2}{4} \left( (1-2p)^2 +1 + 2 \cdot (2p -1)\right) = 0.5 \, {\rm V}^2 \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} p^2.$$

Mit p = 0.25 erhält man hierfür den Wert 0.03125 V². Alle AKF-Werte bei ungeradzahligen Vielfachen von T sind wieder 0. Damit ergibt sich folgende AKF:

Die gesuchten Zahlenwerte sind somit:

$$\varphi_{s} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.125 {\rm V}^2},\hspace{0.5cm} \varphi_{s} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm} \varphi_{s} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.03125 {\rm V}^2}.$$

Ein Vergleich mit der Skizze zur Aufgabe (a) zeigt, dass das binäre Signal s(t) bis auf den Faktor 1/4 die gleiche AKF aufweist wie das Ternärsignal z(t).