Exercise 4.14: ACF and CCF for Square Wave Signals

AKF und KKF bei Rechtecken

Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal $p(t)$ entsprechend der oberen Skizze mit den beiden möglichen Amplitudenwerten $0 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ und der Rechteckdauer $T$. Die Periodendauer beträgt somit $T_0 = 2T$.

Darunter ist das Zufallssignal $z(t)$ gezeichnet.

Dieses ist zwischen $(2i-1)T$ und $2i T$ mit $i=$ ... , $-1, 0, +1$, ... (im Bild rot hervorgehoben) jeweils $z(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$.
Dagegen ist in den blau gezeichneten Intervallen zwischen $(2i+1) \cdot T$ der Signalwert zweipunktverteilt $\pm 1 \hspace{0.05cm} \rm V$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass in den blau dargestellten Intervallen $z(t)=+1 \hspace{0.05cm} \rm V$ gilt, sei allgemein gleich $p$ und unabhängig von den vorher ausgewürfelten Werten.

Das unterste Signal in nebenstehender Grafik kann aus den beiden ersten konstruiert werden. Es gilt:

$$s(t) = {1}/{2} \cdot [p(t) + z(t)].$$

In den rot eingezeichneten Zeitintervallen zwischen $(2i-1)T$ und $2i T$ ($i$ ganzzahlig) gilt $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$, da hier sowohl $p(t)$ als auch $z(t)$ gleich $0$ sind. In den dazwischen liegenden Intervallen ist der Amplitudenwert zweipunktverteilt zwischen $0 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $1 \hspace{0.05cm} \rm V$, wobei der Wert $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ wieder mit der Wahrscheinlichkeit $p$ auftritt.

Oder anders ausgedrückt: Die Signale $z(t)$ und $s(t)$ sind äquivalente Mustersignale des identischen Zufallsprozesses mit bipolarer $(-1 \hspace{0.05cm} \rm V, +1 \hspace{0.05cm} \rm V)$ bzw. unipolarer $(0 \hspace{0.05cm} \rm V, 1 \hspace{0.05cm} \rm V)$ Signaldarstellung.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte.
Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Autokorrelationsfunktion.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Skizzieren Sie die gesuchten Korrelationsfunktionen jeweils im Bereich von $-7T$ bis $7T$.

Fragebogen

$\varphi_z(\tau= 0) \ = $

$\ \rm V^2$

$\varphi_z(\tau= 3T) \ = $

$\ \rm V^2$

$\varphi_z(\tau= 6T) \ = $

$\ \rm V^2$

$\varphi_p(\tau= 0) \ = $

$\ \rm V^2$

$\varphi_p(\tau= 3T) \ = $

$\ \rm V^2$

$\varphi_p(\tau= 6T) \ = $

$\ \rm V^2$

$\varphi_{pz}(\tau= 0) \ = $

$\ \rm V^2$

$\varphi_{pz}(\tau= 3T) \ = $

$\ \rm V^2$

$\varphi_{pz}(\tau= 6T) \ = $

$\ \rm V^2$

	$\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) + \varphi_b(\tau)$.
	$\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) + \varphi_{ab}(\tau) + \varphi_{ba}(\tau) + \varphi_b(\tau)$).
	$\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) \star \varphi_b(\tau)$.

$\varphi_s(\tau= 0) \ = $

$\ \rm V^2$

$\varphi_s(\tau= 3T) \ = $

$\ \rm V^2$

$\varphi_s(\tau= 6T) \ = $

$\ \rm V^2$

Musterlösung

Solution

(1) Der AKF-Wert bei $\tau = 0$ gibt die mittlere Leistung an:

$$\varphi_z ( \tau = 0) = {1}/{2} \cdot (1 {\rm V})^2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2}.$$

Für $\tau = \pm T$, $\underline{\tau = \pm 3T}$, ... ergibt sich $\varphi_z ( \tau)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}$.

Für die Zwischenwerte $\tau = \pm 2T$, $\tau = \pm 4T$, $\underline{\tau = \pm 6T}$, ... gilt:

$$\varphi_z ( \tau) = \frac {1 {\rm V}^2}{2} \left(p \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm} + \hspace{0.2cm}p \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}(p-1) \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}(p-1)\right) = \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}= 0.5\, {\rm V}^2 \cdot (1-2p)^2 .$$

AKF und KKF

Hierbei steht $p$ für $p \cdot (+1)$ und $(p-1)$ für $(1-p) \cdot (-1)$, also jeweils Wahrscheinlichkeit mal normierter Amplitudenwert. Mit $p = 0.25$ ergeben sich diese Zwischenwerte zu $\varphi_z ( \tau = \pm 6 T) \hspace{0.15cm}\underline{=0.125 \rm V^2}$.

Die Skizze zeigt den Verlauf von $\varphi_z(\tau)$ für $p = 0.25$ im Bereich von $-7T \le \tau \le +7T$ als blaue Kurve.

Aufgrund des rechteckförmigen Signalverlaufs ergibt sich eine Summe von Dreieckfunktionen.
Für $p = 0.5$ würden die äußeren (kleineren) Dreiecke verschwinden.

(2) Die AKF $\varphi_p(\tau)$ des unipolaren periodischen Signals $p(t)$ ist in der allgemeingültigen Darstellung von (1) ⇒ AKF $\varphi_z(\tau)$ als Sonderfall für $p = 1$ enthalten. Man erhält nun eine periodische AKF (siehe roter Kurvenverlauf in obiger Skizze) mit

$$\varphi_p ( \tau = 0) = \varphi_p ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_p ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2},$$

$$\varphi_p ( \tau = \pm T) = \varphi_p ( \tau = \pm 3T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$

(3) Auch für die KKF ergibt sich für $\tau = \pm T$, $\underline{\tau = \pm 3T}$, ... , ... stets der Wert $0$. Dagegen sind die KKF-Werte für $\tau = \pm 2T$, $\tau = \pm 2T$, ... identisch mit denen bei $\tau = 0$:

$$\varphi_{pz} ( \tau = 0) = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}= \frac {1 {\rm V}^2}{2} \left( p - (1-p)\right) = \frac {2p -1}{2}\, {\rm V}^2 .$$

Man erhält mit $p = 0.25$ folgende Ergebnisse (siehe grüne Kurve in obiger Skizze):

$$\varphi_{pz} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2},\hspace{0.5cm} \varphi_{pz} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm} \varphi_{pz} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2}.$$

Mit $p = 1$ würde dagegen $z(z) \equiv p(t)$gelten und damit natürlich auch $\varphi_{pz}(\tau) \equiv \varphi_{p}(\tau) \equiv \varphi_{z}(\tau)$.
Für den Sonderfall $p = 0.5$ ergäbe sich keine Korrelation zwischen $p(t)$ und $z(t)$ und damit $\varphi_{pz}(\tau)=0$.

(4) Durch Einsetzen von $c(t) = a(t) + b(t)$ in die allgemeine AKF-Definition erhält man:

$$\varphi_c ( \tau ) = \overline{c(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} c(t + \tau)} = \overline{a(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} a(t + \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\overline{a(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} b(t + \tau)} +\overline{b(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} a(t + \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\overline{b(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} b(t + \tau)}. $$

$$\Rightarrow \hspace{0.5cm} \varphi_c ( \tau ) = \varphi_{a} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ab} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ba} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\varphi_{a} ( \tau ). $$

Richtig ist somit der Lösungsvorschlag 2.

Der Lösungsvorschlag 1 trifft nur zu, wenn $a(t)$ und $b(t)$ unkorreliert sind.
Der letzte Vorschlag, die Faltungsoperation, ist immer falsch. Eine ähnliche Gleichung würde sich nur dann ergeben, wenn wir die WDF $f_c(c)$ der Summe $c(t) = a(t) + b(t)$ betrachten und $a(t)$ und $b(t)$) statistisch unabhängig sind: $f_c (c) = f_a (a) \star f_b (b) .$

(5) Mit dem Ergebnis von (4) und unter Berücksichtigung des Faktors 1/2 erhält man:

$$\varphi_s ( \tau ) = {1}/{4} \cdot \left[ \varphi_{p} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{z} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 2 \cdot \varphi_{pz} ( \tau ) \right] . $$

Hierbei ist bereits berücksichtigt, dass die KKF zwischen $p(t)$ und $z(t)$ eine gerade Funktion ist, so dass auch $\varphi_{pz}(\tau) = \varphi_{zp}(\tau)$ gilt. Für $\tau = 0$ erhält man deshalb mit den obigen Ergebnissen allgemein:

$$\varphi_s( \tau = 0) = {1}/{4} \cdot \left( 0.5 {\rm V}^2 +0.5 {\rm V}^2 + 2 \cdot \frac{2p-1}{2} {\rm V}^2\right) .$$

Mit $p = 0.25$ ergibt sich $ \varphi_{pz} ( \tau = 0 ) = 0.125\rm V^2$. Dieses Ergebnis ist plausibel. Im Mittel ist nur in jedem achten Intervall $s(t)=1 \hspace{0.05cm} \rm V$; ansonsten ist $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$.

Für geradzahlige Vielfache von $T$ gilt:

$$ \varphi_s ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_s ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm} = \frac {0.5 {\rm V}^2}{4} \left( (1-2p)^2 +1 + 2 \cdot (2p -1)\right) = 0.5 \, {\rm V}^2 \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} p^2.$$

Mit $p = 0.5$ erhält man hierfür den Wert $0.03125 \hspace{0.1cm}V^2$. Alle AKF-Werte bei ungeradzahligen Vielfachen von $T$ sind wieder $0$. Damit ergibt sich der skizzierte AKF-Verlauf. Die gesuchten Zahlenwerte sind somit:

AKF eines unipolaren Rechtecksignals

$$\varphi_{s} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.125 {\rm V}^2},$$

$$\varphi_{s} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},$$

$$\varphi_{s} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.03125 {\rm V}^2}.$$

Ein Vergleich mit der Skizze zur Teilaufgabe (1) zeigt, dass das binäre Signal $s(t)$ bis auf den Faktor $1/4$ die gleiche AKF aufweist wie das Ternärsignal $z(t)$.