Exercise 4.15Z: Statements of the Covariance Matrix

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Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen $u$ und $v$, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz $\sigma^2 = 1$. Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet:

$$x_1 = A_1 \cdot u + B_1 \cdot v,$$

$$x_2 = A_2 \cdot u + B_2 \cdot v,$$

$$x_3 = A_3 \cdot u + B_3 \cdot v.$$

Vorausgesetzt wird, dass in allen betrachteten Fällen $(i = 1, 2, 3)$ gilt:

$$A_i^2 + B_i^2 =1.$$

In der Grafik sehen Sie drei Signalverläufe $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ entsprechend dem Parametersatz, der in der Teilaufgabe (3) betrachtet werden soll:

• $A_1 = B_2 = 1$,
• $A_2 = B_2 = 0$,
• $A_3 = 0.8, \hspace{0.5cm} B_3 = 0.6$,

Der Korrelationskoeffizient $\rho_{ij}$ zwischen den Zufallsgrößen $x_i$ und $x_j$ wird wie folgt angegeben:

$$\rho_{ij} = \frac{A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j}{\sqrt{(A_i^2 + B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$

Unter der hier implizit getroffenen Annahme $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$ lautet die Kovarianzmatrix $\mathbf{K}$, die bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix $\mathbf{R}$ ist:

$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & \rho_{12} & \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\ \rho_{13} & \rho_{23} & 1 \end{array} \right] .$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen.
• Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten Determinante einer Matrix sowie Inverse einer Matrix
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? Begründen Sie Ihre Ergebnisse.

	$\mathbf{K}$ kann geeigneter Wahl von $A_1$, ... , $B_3$ eine Diagonalmatrix sein. Oder anders ausgedrückt: $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ ist möglich.
	Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ kann genau einer der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.
	Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können genau zwei der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.
	Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können alle drei Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} \ne 0$ sein.

2

Wie lauten die Matrixelemente von $\mathbf{K}$ mit $A_1 = A_2 = - A_3$ und $B_1 = B_2 = - B_3$?

$\rho_{12} \ =$

$\rho_{13} \ =$

$\rho_{23} \ =$

3

Berechnen Sie die Koeffizienten $\rho_{ij}$ für den in der Grafik dargestellten Fall, also für $A_1 = 1$, $B_1 = 0$, $A_2 = 0$, $B_2 = 1$, $A_3 = 0.8$, $B_3 = 0.6$.

$\rho_{12} \ = $

$\rho_{13} \ = $

$\rho_{23} \ = $

Musterlösung

Solution

1.  Die zweite und die letzte Aussage treffen zu. Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen (hier: x₁ und x₂) unkorreliert sind, während x₃ statistische Bindungen bezüglich x₁ (über die Größe u) und auch in Bezug zu x₂ (bedingt durch die Zufallsgröße v) aufweist.

Die Kombination ρ₁₂ = ρ₁₃ = ρ₂₃ = 0 ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich. Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße w benötigen und es müsste beispielsweise x₁ = u, x₂ = υ und x₃ = w gelten.

Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend: Sind x₁ und x₂ unkorreliert und gleichzeitig auch x₁ und x₃, so können auch zwischen x₂ und x₃ keine statistischen Bindungen bestehen.

Im Allgemeinen werden allerdings sowohl ρ₁₂ als auch ρ₁₃ und ρ₂₃ von 0 verschieden sein. Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe 2) betrachtet.

2.  In diesem Fall sind die Größen x₁ = x₂ vollständig (zu 100%) korreliert. Mit A₂ = A₁ und B₂ = B₁ erhält man für den gemeinsamen Korrelationskoeffizienten:

$$\rho_{12} = A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = A_1^2 + B_1^2 \hspace{0.15cm}\underline{=1}.$$

In gleicher Weise gilt mit A₃ = –A₁ und B₃ = –B₁:

$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2) \hspace{0.15cm}\underline{=-1 \hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$

3.  Mit diesem Parametersatz ist x₁ identisch mit der Zufallsgröße u, während x₂ = υ gilt. Da u und υ statistisch voneinander unabhängig sind, ergibt sich ρ₁₂ = 0. Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:

$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot 0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8}.$$

Für ein (sehr gut) geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen, dass das Signal x₃(t) mehr Ähnlichkeiten mit x₁(t) aufweist als mit x₂(t). Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus.