Exercise 4.5Z: Again Mutual Information

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Gegebene Verbund–WDF und Schaubild der differentiellen Entropien

Die Grafik zeigt oben die in dieser Aufgabe zu betrachtende Verbund–WDF $f_{XY}(x, y)$, die identisch ist mit der „grünen” Konstellation in der [Aufgaben:4.05_I(X;_Y)_aus_fXY(x,_y)|Aufgabe 4.5.] $f_{XY}(x, y)$ ist in der $y$–Richtung um den Faktor $3$ vergrößert. Im grün hinterlegten Definitionsgebiet ist die Verbund–WDF konstant gleich $C = 1/F$, wobei $F$ die Fläche des Parallelogramms angibt.

In der Aufgabe 4.5 wurden folgende differentielle Entropien berechnet:

$$h(X) \ = \ {\rm log} \hspace{0.1cm} (\hspace{0.05cm}A\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm},$$

$$h(Y) = {\rm log} \hspace{0.1cm} (\hspace{0.05cm}B \cdot \sqrt{ {\rm e } } \hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm},$$

$$h(XY) = {\rm log} \hspace{0.1cm} (\hspace{0.05cm}F \hspace{0.05cm}) = {\rm log} \hspace{0.1cm} (\hspace{0.05cm}A \cdot B \hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe sind nun die speziellen Parameterwerte $A = {\rm e}^{-2}$ und $B = {\rm e}^{0.5}$ zu verwenden. Außerdem ist zu beachten:

• Bei Verwendung des natürlichen Logarithmus „ln” ist die Pseudo–Einheit „nat” anzufügen.
• Verwendet man den Logarithmus dualis ⇒ „log₂”, so ergeben sich alle Größen in „bit”.

Entsprechend dem obigen Schaubild sollen nun auch die bedingten differentiellen Entropien $h(Y|X)$ und $h(X|Y)$ ermittelt und deren Bezug zur Transinformation $I(X; Y)$ angegeben werden.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang.
• Sollen die Ergebnisse in „nat” angegeben werden, so erreicht man dies mit „log”  ⇒  „ln”.
• Sollen die Ergebnisse in „bit” angegeben werden, so erreicht man dies mit „log”  ⇒  „log₂”.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

{Geben Sie die folgenden informationstheoretischen Größen in „nat” an:

$h(X) \ = \ $ $\ \rm nat$

$h(Y) \ \hspace{0.03cm} = \ $ $\ \rm nat$

$h(XY)\ \hspace{0.17cm} = \ $ $\ \rm nat$

$I(X;Y)\ = \ $ $\ \rm nat$

2

Wie lauten die gleichen Größen mit der Pseudo–Einheit „bit”?

$h(X) \ = \ $ $\ \rm bit$

$h(Y) \ \hspace{0.03cm} = \ $ $\ \rm bit$

$h(XY)\ \hspace{0.17cm} = \ $ $\ \rm bit$

$I(X;Y)\ = \ $ $\ \rm bit$

3

Berechnen Sie die bedingte differentielle Entropie $h(Y|X)$.

$h(Y|X) \ = \ $ $\ \rm nat$

$h(Y|X) \ = \ $ $\ \rm bit$

4

Berechnen Sie die bedingte differentielle Entropie $h(X|Y)$.

$h(X|Y) \ = \ $ $\ \rm nat$

$h(X|Y) \ = \ $ $\ \rm bit$

5

Welche der folgenden Größen sind niemals negativ?

	Sowohl $H(X)$ als auch $H(Y)$ im wertdiskreten Fall.
	Die Transinformation $I(X; Y)$ im wertdiskreten Fall.
	Die Transinformation $I(X; Y)$ im wertkontinuierlichen Fall.
	Sowohl $h(X)$ als auch $h(Y)$ im wertkontinuierlichen Fall.
	Sowohl $h(X|Y)$ als auch $h(Y|X)$ im wertkontinuierlichen Fall.
	Die Verbundentropie $h(XY)$ im wertkontinuierlichen Fall.

Musterlösung

Solution

a)  Hier bietet sich die Verwendung des natürlichen Logarithmus an:

• Die Zufallsgröße X ist gleichverteilt zwischen 0 und 1/e² = e^–2:

$$h(X) = {\rm ln} \hspace{0.1cm} (\hspace{0.05cm}{\rm e}^{-2}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.15cm}\underline{= -2\,{\rm nat}}\hspace{0.05cm}. $$

• Die Zufallsgröße Y ist dreieckverteilt zwischen ±e^0.5:

$$h(Y) = {\rm ln} \hspace{0.1cm} (\hspace{0.05cm}\sqrt{ {\rm e} } \cdot \sqrt{ {\rm e} } ) = {\rm ln} \hspace{0.1cm} (\hspace{0.05cm}{ { \rm e } } \hspace{0.05cm}) \hspace{0.15cm}\underline{= +1\,{\rm nat}}\hspace{0.05cm}.$$

• Die Fläche des Parallelogramms ergibt sich zu

$$F = A \cdot B = {\rm e}^{-2} \cdot {\rm e}^{0.5} = {\rm e}^{-1.5}\hspace{0.05cm}.$$ Damit hat die 2D–WDF im grün hinterlegten Bereich die konstante Höhe C = 1/F = e^1.5 und man erhält für die Verbundentropie: $$h(XY) = {\rm ln} \hspace{0.1cm} (F) = {\rm ln} \hspace{0.1cm} (\hspace{0.05cm}{\rm e}^{-1.5}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.15cm}\underline{= -1.5\,{\rm nat}}\hspace{0.05cm}.$$ Daraus ergibt sich für die Transinformation: $$I(X;Y) = h(X) + h(Y) - h(XY) = -2 \,{\rm nat} + 1 \,{\rm nat} - (-1.5 \,{\rm nat} ) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5\,{\rm nat}}\hspace{0.05cm}.$$ b)  Allgemein gilt der Zusammenhang log₂(x) = ln(x)/ln(2). $$h(X) \ = \ \frac{-2\,{\rm nat}}{0.693\,{\rm nat/bit}}\hspace{0.35cm}\underline{= -2.886\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm},$$ $$h(Y) \ = \ \frac{+1\,{\rm nat}}{0.693\,{\rm nat/bit}}\hspace{0.35cm}\underline{= +1.443\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm},$$ $$h(XY) \ = \ \frac{-1.5\,{\rm nat}}{0.693\,{\rm nat/bit}}\hspace{0.35cm}\underline{= -2.164\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm},$$ $$I(X;Y) \ = \ \frac{0.5\,{\rm nat}}{0.693\,{\rm nat/bit}}\hspace{0.35cm}\underline{= 0.721\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$ Oder auch: $$I(X;Y) = -2.886 \,{\rm bit} + 1.443 \,{\rm bit}+ 2.164 \,{\rm bit}{= 0.721\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$ c)  Die Transinformation kann auch in der Form I(X; Y) = h(Y) – h(Y|X) geschrieben werden: $$h(Y \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} X) = h(Y) - I(X;Y) = 1 \,{\rm nat} - 0.5 \,{\rm nat} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5\,{\rm nat}= 0.721\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$ d)  Für die differentielle Rückschlussentropie gilt entsprechend: $$h(X \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} Y) = h(X) - I(X;Y) = -2 \,{\rm nat} - 0.5 \,{\rm nat} \hspace{0.15cm}\underline{= -2.5\,{\rm nat}= -3.607\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$ Alle hier berechneten Größen sind in der Grafik am Seitenende zusammengestellt. Pfeile nach oben kennzeichnen einen positiven Beitrag, Pfeile nach unten einen negativen.

e)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 bis 3. Nochmals zur Verdeutlichung:

• Für die Transinformation gilt stets I(X; Y) ≥ 0.
• Im wertdiskreten Fall gibt es keine negative Entropie, jedoch im wertkontinuierlichen.