Exercise 4.7: Several Parallel Gaussian Channels

Einige häufig verwendete Signalraumkonstellationen

Die Kanalkapazität des AWGN–Kanals ⇒ $Y = X + N$ wurde im Theorieteil wie folgt angegeben (mit Zusatz–Einheit „bit”):

$$C_{\rm AWGN}(P_X) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + {P_X}/{P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$

Die verwendeten Größen haben folgende Bedeutung:

$P_X$ ist die Sendeleistung ⇒ Varianz der Zufallsgröße $X$,
$P_N$ ist die Störleistung ⇒ Varianz der Zufallsgröße $N$.

Werden $K$ identische Gaußkanäle parallel genutzt, so gilt für die Gesamtkapazität:

$$C_K(P_X) = K \cdot C_{\rm AWGN}(P_X/K) \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass

in jedem Kanal die gleiche Störleistung $P_N$ vorliegt,
somit jeder Kanal die gleiche Sendeleistung erhält,
die Gesamtleistung genau wie im Fall $K = 1$ gleich $P_X$ ist.

In nebenstehender Grafik sind die Signalraumpunkte für einige digitale Modulationsverfahren angegeben:

Amplitude Shift Keying (ASK),
Binary Phase Shift Keying (BPSK),
Quadratur-Amplitudenmodulation (hier: 4-QAM),
Phase Shift Keying (hier: 8–PSK für GSM Evolution),
Kombinierte ASK/PSK-Modulation (hier: 16-ASK/PSK).

Zu Beginn dieser Aufgabe ist zu prüfen, welcher $K$–Parameter für die einzelnen Verfahren gültig ist.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Parallele Gaußkanäle.
Da die Ergebnisse in „bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen „log” ⇒ „log₂” verwendet.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

$K \ = \ $

$\text{(bei ASK)}$

$K \ = \ $

$\text{(bei BPSK)}$

$K \ = \ $

$\text{(bei 4-QAM)}$

$K \ = \ $

$\text{(bei 8-PSK)}$

$K \ = \ $

$\text{(16-ASK/PSK)}$

	Es gilt $C_K = K/2 \cdot \log_2 [1 + P_X/P_N]$.
	Es gilt $C_K = K/2 \cdot \log_2 [1 + P_X/(K \cdot P_N)]$.
	Es gilt $C_K = 1/2 \cdot \log_2 [1 + P_X/P_N]$.

$K = 1\text{:} \ \ C_K \ = \ $

$K = 2\text{:} \ \ C_K \ = \ $

$K = 4\text{:} \ \ C_K \ = \ $

	Ja: Die größte Kanalkapazität ergibt sich für $K = 2$.
	Ja: Die größte Kanalkapazität ergibt sich für $K = 4$.
	Nein: Je größer $K$, desto größer ist die Kanalkapazität.
	Der Grenzwert für $K \to \infty$ (in bit) ist $C_K = P_X/P_N/2/\ln (2)$ in „bit&rdqu;o.

Musterlösung

Solution

a) Der Parameter K ist gleich der Dimension der Signalraumdarstellung:

Für ASK und BPSK ist K = 1.
Für die Konstellationen 3 – 5 gilt K = 2 (orthogonale Modulation mit Cosinus und Sinus).

b) Für jeden der Kanäle (1 ≤ k ≤ K) beträgt die Kanalkapazität C_k = 1/2 · log₂ (1 + (P_X/k)/P_N). Die Gesamtkapazität ist dann um den Faktor K größer ⇒ Lösungsvorschlag 2: $$C_K(P_X) = \sum_{k= 1}^K \hspace{0.1cm}C_k = \frac{K}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{P_X}{K \cdot P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$ Der Lösungsvorschlag 1 ist zu positiv. Dieser würde bei Begrenzung der Gesamtleistung auf K · P_X gelten. Der Vorschlag 3 würde dagegen bedeuten, dass man durch die Nutzung mehrerer unabhängiger Kanäle keine Kapazitätssteigerung erreicht, was offensichtlich nicht zutrifft.

c) Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse für K = 1, K = 2 und K = 4 und verschiedene Signal–zu–Störleistungsverhältnisse P_X/P_N.

Für P_X/P_N = 15 (markierte Spalte) ergibt sich:

K = 1: C_K = 1/2 · log₂ (16) = 2.000 bit,
K = 2: C_K = 1 · log₂ (8.5) = 3.087 bit,
K = 4: C_K = 2 · log₂ (4.75) = 4.496 bit.

d) Schon aus obiger Tabelle ist ersichtlich, dass der erste Lösungsvorschlag falsch sein muss. Richtig sind vielmehr die Lösungsvorschläge 3 und 4, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:

Wir schreiben die Kanalkapazität mit „ln” und der Abkürzung ξ = P_X/P_N:

$$C_{\rm nat}(\xi, K) = \frac{K}{2} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{\xi}{K} \right )\hspace{0.05cm}.$$

Für große K–Werte, also für kleine Werte von ε = ξ/K gilt dann:

$${\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \varepsilon \right )= \varepsilon - \frac{\varepsilon^2}{2} + \frac{\varepsilon^3}{3} - ... \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm nat}(\xi, K) = \frac{K}{2} \cdot \left [ \frac{\xi}{K} - \frac{\xi^2}{2K^2} + \frac{\xi^3}{3K^3} - ... \right ]$$ $$\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm bit}(\xi, K) = \frac{\xi}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} \cdot \left [ 1 - \frac{\xi}{2K} + \frac{\xi^2}{3K^2} -\frac{\xi^3}{4K^3} + \frac{\xi^4}{5K^4} - ... \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Für K → ∞ ergibt sich der vorgeschlagene Wert:

$$C_{\rm bit}(\xi, K \rightarrow\infty) = \frac{\xi}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} = \frac{P_X/P_N}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} \hspace{0.05cm}.$$

Für kleinere Werte von K ergibt sich stets ein kleinerer C–Wert, da

$$\frac{\xi}{2K} > \frac{\xi^2}{3K^2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \frac{\xi^3}{4K^3} > \frac{\xi^4}{5K^4} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} {\rm usw.}$$ Die letzte Zeile der Tabelle zur Teilaufgabe (c) zeigt, dass man für große ξ–Werte mit K = 4 noch weit vom theoretischen Maximum (für K → ∞) entfernt ist.