Exercise 4.8: Numerical Analysis of the AWGN Channel Capacity

Für die Kanalkapazität C des AWGN–Kanals als obere Schranke für die Coderate R bei Digitalsignalübertragung gibt es zwei verschiedene Gleichungen :

Kanalkapazität C in Abhängigkeit von E_S/N₀: $$C( E_{\rm S}/{N_0}) = \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot E_{\rm S}}{N_0}) .$$ Hierbei sind folgende Abkürzungen verwendet:

E_S: die Energie pro Symbol des Digitalsignals,
N₀: die AWGN–Rauschleistungsdichte.

Kanalkapazität C in Abhängigkeit von E_B/N₀: $$C( E_{\rm B}/{N_0}) = \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$

Berücksichtigt ist der Zusammenhang E_S = R · E_B, wobei R die Coderate der bestmöglichen Kanalcodierung angibt. Eine fehlerfreie Übertragung (unter Berücksichtigung dieses optimalen Codes) ist für das gegebene E_B/N₀ möglich, so lange R ≤ C gilt ⇒ Kanalcodierungstheorem von Shannon.'

Durch die Tabelle vorgegeben ist der Kurvenverlauf C(E_S/N₀). Im Mittelpunkt dieser Aufgabe steht die numerische Auswertung der zweiten Gleichung.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Parallele Gaußkanäle.
Da die Ergebnisse in „bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen „log” ⇒ „log₂” verwendet.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Hinweis

Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel 4.3.

Fragebogen

	R = 1/2 · log₂ (1 + 2 · R · E_B/N₀),
	2²^R = 1 + 2 · R · E_B/N₀,
	E_B/N₀ = (2²^R –1)/(2R).

$Min [EB/N0]$ =

$Min[10 · lg (EB/N0)]$ =

$10 · lg (EB/N0) = 0 dB: C$ =

$R = 1: Min [EB/N0]$ =

	Berechnung der Kanalkapazität C für das vorgegebene E_B/N₀.
	Berechnung des erforderlichen E_B/N₀ für das vorgegebene C.

Musterlösung

Solution

(1) Ausgehend von der Gleichung $$C = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + { 2 \cdot E_{\rm S}}/{N_0}) $$ erhält man mit C = R und E_S = R · E_B die Gleichung gemäß Lösungsvorschlag 1: $$R = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}/{N_0})\hspace{0.05cm}. $$ Bringt man den Faktor 1/2 auf die linke Seite der Gleichung und bildet die Potenz zur Basis 2, so erhält man den Lösungsvorschlag 2: $$2^{2R} = 1 + 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/{N_0}\hspace{0.05cm}. $$ Löst man diese Gleichung nach E_B/N₀ auf, so ergibt sich $$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2R} - 1} { 2 R} \hspace{0.05cm}. $$ Das bedeutet: Alle Lösungsvorschläge sind richtig.

(2) Über einen Kanal mit der Kanalkapazität C ist eine fehlerfreie Übertragung möglich, solange die Coderate R ≤ C ist. Die absolute Grenze ergibt sich im Grenzfall C = R = 0. Oder präziser ausgedrückt: für ein beliebig kleines positives ε: C = R = ε mit ε → 0.

Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (a) lautet die Bestimmungsgleichung: $${\rm Min}\hspace{0.1cm}[E_{\rm B}/{N_0}] = \lim\limits_{R \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{2^{2R} - 1} { 2 R} \hspace{0.05cm}. $$ Da hier der Quotient im Grenzübergang R → 0 das Ergebnis „0 geteilt durch 0” liefert, ist hier die l'Hospitalsche Regel anzuwenden: Man differenziert Zähler und Nenner, bildet den Quotienten und setzt schließlich R = 0 ein. Mit x = 2R lautet das Ergebnis: $${\rm Min}\hspace{0.1cm}[E_{\rm B}/{N_0}] = \lim\limits_{x \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{2^{x} - 1} { x} = \frac{{\rm ln}\hspace{0.1cm} (2) \cdot 2^{x} } { 1} \hspace{0.05cm}\bigg |_{x=0} = {\rm ln}\hspace{0.1cm} (2) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.693} \hspace{0.05cm}.$$

(3) In logarithmierter Form erhält man: $${\rm Min}\hspace{0.1cm}[10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0})] = 10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(0.693) \hspace{0.15cm}\underline{= -1.59\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}. $$

(4) Der Abszissenwert lautet somit in nichtlogarithmierter Form: E_B/N₀ = 1. Daraus folgt mit C = R: $$\frac{2^{2C} - 1} { 2 C} \stackrel{!}{=} 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{C = 0.5} \hspace{0.05cm}. $$

(5) Für R = 1 ist E_B = E_S. Deshalb gilt: $$ C(E_{\rm B}/{N_0}) = 1 \hspace{0.3cm}\Longleftrightarrow \hspace{0.3cm} C(E_{\rm S}/{N_0}) = 1 \hspace{0.05cm}.$$ Aus der Tabelle auf der Angabenseite ist abzulesen: $$ C(E_{\rm S}/{N_0}) = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} E_{\rm S}/{N_0} = 1.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{E_{\rm B}/{N_0} = 1.5}\hspace{0.05cm}.$$ Der dazugehörige dB–Wert ist 10 · lg (E_B/N₀) = 1.76 dB.

Zum gleichen Ergebnis kommt man mit R = 1 über die Gleichung $$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2R} - 1} { 2 \cdot R} = \frac{4 - 1} { 2 } = 1.5 \hspace{0.05cm}.$$ (6) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2, wie an einem Beispiel gezeigt werden soll.

Gesucht ist die Kanalkapazität C für 10 · lg (E_B/N₀) = 15 dB ⇒ E_B/N₀ = 31.62. Dann gilt entsprechend dem Lösungsvorschlag 1 mit x = 2C:

$$31.62 = \frac{2^{x} - 1} { x} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 31.62 \cdot x = 2^{x} - 1 \hspace{0.05cm}. $$

Die Lösung x = 7.986 ⇒ C = 3.993 (bit/use) kann nur grafisch oder iterativ gefunden werden.

Gesucht ist der notwendige Abszissenwert 10 · lg (E_B/N₀) für die Kapazität C = 4 bit/Symbol:

$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2C} - 1} { 2 \cdot C} = \frac{2^8 - 1} { 8 } = 31.875 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0}) = 15.03\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt die AWGN–Kanalkapazität C in „bit/Kanalzugriff” oder auch „bit/Symbol” abhängig von

10 · lg (E_S/N₀) ⇒ rote Kurve und rote Zahlen;
diese

geben die Kanalkapazität C für das vorgegebene 10 · lg (E_S/N₀) an.

10 · lg (E_B/N₀) ⇒ grüne Kurve und und grüne Zahlen;
diese geben das erforderliche 10 · lg (E_B/N₀) für die vorgegebene Kanalkapazität C an.

Der Schnittpunkt der beiden Kurven liegt bei 1.76 dB.