Exercise 2.1: DSB-AM with Cosine? Or with Sine?

Wir betrachten die Amplitudenmodulation des Quellensignals $q(t)$ mit dem Trägersignal $z(t)$. Diese Signale sind wie folgt gegeben: $$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm},$$ $$z(t) = \hspace{0.15cm}1 \hspace{0.13cm} \cdot \hspace{0.1cm}\cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$ Bekannt ist die Trägerfrequenz mit $f_T = 40 kHz$. Die weiteren Systemparameter $A_N$, $f_N$, $ϕ_N$ und $ϕ_T$ sollen in dieser Aufgabe ermittelt werden.

Gegeben ist weiter das Spektrum $S_+(f)$ des analytischen Signals $s_+(t)$ am Ausgang des Modulators. Dieses lautet (siehe Grafik): $$S_+(f) = {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{30} )+ {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{50} )\hspace{0.05cm}.$$ Hierbei sind die Abkürzungen $f_30 = 30 kHz$ und $f_50 = 50 kHz$ verwendet. Zur Erinnerung: Das Spektrum $S_+(f)$ erhält man aus $S(f)$, indem man die Anteile bei negativen Frequenzen abschneidet und bei positiven Frequenzen verdoppelt.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 2.1. Gegeben sind folgende trigonometrischen Zusammenhänge: $$\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\right] \hspace{0.05cm}, \\ \cos(90^{\circ}- \hspace{0.05cm} \alpha) = \sin(\alpha) \hspace{0.05cm}, \\ \cos(90^{\circ}+ \hspace{0.05cm} \alpha) = -\sin(\alpha) \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

	$S(f)$ besteht aus vier Diracfunktionen.
	Alle Diracgewichte haben den gleichen Betrag 2 V.
	Alle Diracgewichte sind imaginär.

	Es handelt sich um ZSB–AM ohne Träger.
	Es handelt sich um ZSB–AM mit Träger.

$f_N$=

$\text{KHz}$

$ϕ_N$ =

$\text{Grad}$

$ϕ_T$ =

$\text{Grad}$

$A_N$ =

$\text{V}$

Musterlösung

Solution

1.Bei positiven Frequenzen erhält man $S_+(f)$ aus $S(f)$ durch Verdopplung. Daraus folgt, dass die Impulsgewichte von $S(f)$ nur jeweils $j · 1 V$ sein können. Aufgrund des Zuordnungssatzes muss $S(f)$ eine ungerade Funktion sein. Deshalb besitzt $S(f)$ noch zwei weitere Diracfunktionen bei $–f_30$ und $–f_50$, jeweils mit dem Gewicht: $–j · 1 V$: $$S(f) = 1\,{\rm V} \cdot \left[ {\rm j}\cdot \delta ( f - f_{30} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{30} )+ {\rm j} \cdot \delta ( f - f_{50} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{50} )\right] \hspace{0.05cm}.$$ Richtig sind somit die Antworten 1 und 3.

2. Die Fourierrücktransformation von $S(f)$ führt zum Signal: (mit $ω_30 = 2π · f_30$ und $ω_50 = 2πf_50$) $$ s(t) = -2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 30} t )-2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 50} t )\hspace{0.05cm}.$$ Dieser enthält keinen Anteil bei $f_T = 40 kHz$, so dass die erste Aussage zutrifft.

3. Bei ZSB–AM ohne Träger beinhaltet $s(t)$ nur die beiden Frequenzen $f_T – f_N$ und $f_T + f_N$. Daraus folgt mit $f_T = 40 kHz$ für die Nachrichtenfrequenz: $f_N = 10 kHz$.

4.Bei ZSB–AM ohne Träger gilt: $$s(t) = q(t) \cdot z(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\cdot \cos(\omega_{\rm T} t + \phi_{\rm T}) \\ = \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot \left[ \cos\left((\omega_{\rm T} +\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N}\right) + \cos\left((\omega_{\rm T} -\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N}\right) \right] \hspace{0.05cm}.$$ Ein Vergleich mit dem Ergebnis aus b) zeigt, dass gelten muss: $$\cos(\omega_{\rm 30} \cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N}) = -\sin(\omega_{\rm 30} \cdot t )\hspace{0.05cm},\\ \cos(\omega_{\rm 50} \cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N}) = -\sin(\omega_{\rm 50} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$ Beide Gleichungen sind gleichzeitig nur mit der Phase $ϕ_N = 0$ zu erfüllen. Aus der letzten angegebenen trigonometrischen Beziehung folgt außerdem $ϕ_T= 90° = π/2$.

5.Ein Vergleich der Ergebnisse aus b) und d) führt auf $A_N = 4 V$. Damit lauten die Gleichungen der an der Modulation beteiligten Signale: $$q(t ) = 4\,{\rm V} \cdot \cos (2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.05cm}, \\ z(t) = 1 \cdot \cos (2 \pi \cdot 40\,{\rm kHz} \cdot t + 90^{\circ}) = -\sin (2 \pi \cdot 40\,{\rm kHz} \cdot t )\hspace{0.05cm}.$$