Exercise 2.1: DSB-AM with Cosine? Or with Sine?

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Spektrum des analytischen Signals

Wir betrachten die Amplitudenmodulation des Quellensignals $q(t)$ mit dem Trägersignal $z(t)$. Diese Signale sind wie folgt gegeben:

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm},$$

$$z(t) = \hspace{0.15cm}1 \hspace{0.13cm} \cdot \hspace{0.1cm}\cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

Bekannt ist die Trägerfrequenz mit $f_{\rm T} = 40$ kHz. Die weiteren Systemparameter $A_{\rm N}$, $f_{\rm N}$, $ϕ_{\rm N}$ und $ϕ_{\rm T}$ sollen in dieser Aufgabe ermittelt werden.

Gegeben ist weiter das Spektrum $S_+(f)$ des analytischen Signals $s_+(t)$ am Ausgang des Modulators. Dieses lautet (siehe Grafik):

$$S_+(f) = {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{30} )+ {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{50} )\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei sind die Abkürzungen $f_{30} = 30$ kHz und $f_{50} = 50$ kHz verwendet. Zur Erinnerung: Das Spektrum $S_+(f)$ erhält man aus $S(f)$, indem man die Anteile bei negativen Frequenzen abschneidet und bei positiven Frequenzen verdoppelt.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweiseitenband-Amplitudenmodulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten Beschreibung im Frequenzbereich und Beschreibung im Zeitbereich.
• Gegeben sind folgende trigonometrischen Zusammenhänge:

$$\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) = {1}/{2} \cdot \left[ \cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\right] \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \cos(90^{\circ}- \hspace{0.05cm} \alpha) = \sin(\alpha) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \cos(90^{\circ}+ \hspace{0.05cm} \alpha) = -\sin(\alpha) \hspace{0.05cm}.$$

• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Ermitteln Sie das Spektrum $S(f)$. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

	$S(f)$ besteht aus vier Diracfunktionen.
	Alle Diracgewichte haben den gleichen Betrag $2$ V.
	Alle Diracgewichte sind imaginär.

2

Wie lautet das modulierte Signal $s(t)$? Welche Aussage trifft zu?

	Es handelt sich um ZSB–AM ohne Träger.
	Es handelt sich um ZSB–AM mit Träger.

3

Geben Sie die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$ an.

$f_{\rm N} \ = \ $ $\ \text{kHz}$

4

Bestimmen Sie die Phasen von Quellen– und Trägersignal.

$ϕ_{\rm N} \ = \ $ $\ \text{Grad}$

$ϕ_{\rm T} \ = \ $ $\ \text{Grad}$

5

Wie groß ist die Amplitude des Nachrichtensignals?

$A_{\rm N} \ = \ $ $\ \text{V}$

Musterlösung

Solution

1.Bei positiven Frequenzen erhält man $S_+(f)$ aus $S(f)$ durch Verdopplung. Daraus folgt, dass die Impulsgewichte von $S(f)$ nur jeweils $j · 1 V$ sein können. Aufgrund des Zuordnungssatzes muss $S(f)$ eine ungerade Funktion sein. Deshalb besitzt $S(f)$ noch zwei weitere Diracfunktionen bei $–f_30$ und $–f_50$, jeweils mit dem Gewicht: $–j · 1 V$: $$S(f) = 1\,{\rm V} \cdot \left[ {\rm j}\cdot \delta ( f - f_{30} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{30} )+ {\rm j} \cdot \delta ( f - f_{50} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{50} )\right] \hspace{0.05cm}.$$ Richtig sind somit die Antworten 1 und 3.

2. Die Fourierrücktransformation von $S(f)$ führt zum Signal: (mit $ω_30 = 2π · f_30$ und $ω_50 = 2πf_50$) $$ s(t) = -2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 30} t )-2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 50} t )\hspace{0.05cm}.$$ Dieser enthält keinen Anteil bei $f_T = 40 kHz$, so dass die erste Aussage zutrifft.

3. Bei ZSB–AM ohne Träger beinhaltet $s(t)$ nur die beiden Frequenzen $f_T – f_N$ und $f_T + f_N$. Daraus folgt mit $f_T = 40 kHz$ für die Nachrichtenfrequenz: $f_N = 10 kHz$.

4.Bei ZSB–AM ohne Träger gilt: $$s(t) = q(t) \cdot z(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\cdot \cos(\omega_{\rm T} t + \phi_{\rm T}) \\ = \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot \left[ \cos\left((\omega_{\rm T} +\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N}\right) + \cos\left((\omega_{\rm T} -\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N}\right) \right] \hspace{0.05cm}.$$ Ein Vergleich mit dem Ergebnis aus b) zeigt, dass gelten muss: $$\cos(\omega_{\rm 30} \cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N}) = -\sin(\omega_{\rm 30} \cdot t )\hspace{0.05cm},\\ \cos(\omega_{\rm 50} \cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N}) = -\sin(\omega_{\rm 50} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$ Beide Gleichungen sind gleichzeitig nur mit der Phase $ϕ_N = 0$ zu erfüllen. Aus der letzten angegebenen trigonometrischen Beziehung folgt außerdem $ϕ_T= 90° = π/2$.

5.Ein Vergleich der Ergebnisse aus b) und d) führt auf $A_N = 4 V$. Damit lauten die Gleichungen der an der Modulation beteiligten Signale: $$q(t ) = 4\,{\rm V} \cdot \cos (2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.05cm}, \\ z(t) = 1 \cdot \cos (2 \pi \cdot 40\,{\rm kHz} \cdot t + 90^{\circ}) = -\sin (2 \pi \cdot 40\,{\rm kHz} \cdot t )\hspace{0.05cm}.$$