Exercise 2.4Z: Low-pass Influence with Synchronous Demodulation

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Signale bei ZSB–AM und Synchrondemodulation

Wir betrachten das gleiche Übertragungssystem wie in Aufgabe A2.4. Es wird nun allerdings stets eine perfekte Frequenz– und Phasensynchronisation des Synchrondemodulators (SD) vorausgesetzt. Das Quellensignal $q(t)$, das Sendesignal $s(t)$ sowie das Signal $b(t)$ vor dem Tiefpassfilter innerhalb des Synchrondemodulators sind wie folgt gegeben: $$q(t) = q_1(t) + q_2(t)\hspace{0.2cm}{\rm mit }$$ $$q_1(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 2\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm},$$ $$q_2(t) = 1\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 5\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm},$$ $$s(t) = q(t) \cdot \sin(2 \pi \cdot 50\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm},$$ $$b(t) = s(t) \cdot 2 \cdot \sin(2 \pi \cdot 50\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$ Die Grafik zeigt zunächst die Signale $q(t)$ und $s(t)$. In der letzten Skizze ist das Sinkensignal $υ(t)$ dargestellt (violetter Kurvenverlauf). Dieses stimmt offensichtlich nicht mit dem Quellensignal (blau-gestrichelte Kurve) überein. Der Grund für das unerwünschte Ergebnis $υ(t) ≠ q(t)$ könnte zum Beispiel ein fehlender oder falsch dimensionierter Tiefpass sein.

In den Teilaufgaben c) und d) wird der sogenannte $\text{Trapeztiefpass}$ verwendet, dessen Frequenzgang wie folgt lautet: $$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ \frac{f_2 -|f|}{f_2 -f_1} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\hspace{0.94cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_1,} \\ {f_1 \le \left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| \le f_2,} \\ {\hspace{0.94cm}\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > f_2.} \\ \end{array}$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Synchrondemodulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten Einfluss eines Frequenzversatzes und Einfluss eines Phasenversatzes.
• Berücksichtigen Sie die folgenden trigonometrischen Umformungen:

$$\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) = {1}/{2} \cdot \left[ \cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\right] \hspace{0.05cm},$$

$$\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) = {1}/{2} \cdot \left[ \sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)\right] \hspace{0.05cm},$$

$$\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta) = {1}/{2} \cdot \left[ \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)\right] \hspace{0.05cm}.$$

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 2.2. Im Gegensatz zur Aufgabe A2.4 beschreiben hier f1 und f2 nicht die Signalfrequenzen, sondern beziehen sich auf das Tiefpassfilter.

Fragebogen

1

Welche Aussagen sind über das Filter $H_E(f)$ möglich, das zur Gewinnung des auf der Angabenseite dargestellten Sinkensignals benutzt wurde?

	Die obere Grenzfrequenz ist zu hoch.
	Die obere Grenzfrequenz ist zu niedrig.
	Die untere Grenzfrequenz ist ungleich 0.

2

Mit welchen der nachfolgend aufgeführten Tiefpassfunktionen ist eine ideale Demodulation – das heißt $υ(t) = q(t)$ – prinzipiell möglich?

	Rechtecktiefpass.
	Gaußtiefpass.
	Trapeztiefpass.
	Spalttiefpass.

3

Wie ist die untere Eckfrequenz $f_1$ eines Trapeztiefpasses mindestens zu wählen, damit keine Verzerrungen entstehen?

$f_{1, min}$= $\text{KHz}$

4

Wie groß darf die obere Eckfrequenz $f_2$ des Trapeztiefpasses höchstens sein, damit keine Verzerrungen entstehen?

$f_{2,max}$ = $\text{KHz}$

5

Welche Grenzfrequenz $f_G$ eines idealen, rechteckförmigen Tiefpasses würden Sie bevorzugen, wenn Rauschstörungen nicht zu vernachlässigen sind?

	$f_G = 4 kHz,$
	$f_G = 6 kHz,$
	$f_G = 10 kHz.$

Musterlösung

Solution

1.Das dargestellte Sinkensignal $υ(t)$ stimmt exakt mit dem als Gleichung gegebenen Signal $b(t)$ überein und enthält somit auch Anteile um die doppelte Trägerfrequenz. Das Filter $H_E(f)$ fehlt entweder ganz oder dessen obere Grenzfrequenz $f_O$ ist zu hoch ⇒ Richtig ist die erste Aussage.

Bezüglich der unteren Grenzfrequenz $f_U$ ist nur die Aussage möglich, dass diese kleiner ist als die kleinste im Signal $b(t)$ vorkommende Frequenz (2 kHz). Ob ein Gleichanteil durch das Filter entfernt wird oder nicht, ist unklar, da ein solcher im Signal $b(t)$ nicht enthalten ist.

2.Voraussetzung für eine verzerrungsfreie Demodulation ist, dass bis zu einer bestimmten Frequenz $f_1$ alle Spektralanteile gleich und möglichst ungedämpft übertragen werden und alle Anteile bei Frequenzen $f > f_2$ vollständig unterdrückt werden. Der Rechteck– und der Trapeztiefpass erfüllen diese Bedingung.

3.Sichergestellt werden muss, dass der 5 kHz–Anteil noch im Durchlassbereich liegt: $f_{1, min} = 5 kHz$.

4.Alle Spektralanteile in der Umgebung der doppelten Trägerfrequenz – genauer gesagt zwischen 95 kHz und 105 kHz – müssen vollständig unterdrückt werden: $f_{2, max} = 95 kHz$. Ansonsten würde es zu nichtlinearen Verzerrungen kommen.

5.Die Grenzfrequenz $f_G = 4 kHz$ hätte (lineare) Verzerrungen zur Folge, da dann der 5 kHz–Anteil abgeschnitten würde. Zu bevorzugen ist der Tiefpass mit $f_G = 6 kHz$, da mit $f_G = 10 kHz$ dem Nutzsignal $υ(t)$ mehr Rauschanteile überlagert wären ⇒ Lösungsvorschlag 2.