Exercise 3.8: Modulation Index and Bandwidth

Tabelle der Besselfunktionen

Eine harmonische Schwingung der Form

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})$$

wird winkelmoduliert und dann das einseitige Betragsspektrum $|S_+(f)|$ ermittelt.

Mit der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$ sind folgende Spektrallinien mit folgenden Gewichten zu erkennen:

$$|S_{\rm +}(98\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(102\,{\rm kHz})| = 1.560\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ $$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.293\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$

$$ |S_{\rm +}(94\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(106\,{\rm kHz})| = 0.594\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$

Weitere Spektrallinien folgen mit jeweiligem Frequenzabstand $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$, sind hier jedoch nicht angegeben und können vernachlässigt werden.

Erhöht man die Nachrichtenfrequenz auf $f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$, so gibt es die dominanten Linien

$$|S_{\rm +}(100\,{\rm kHz})| = 2.013\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$

$$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.494\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$

$$ |S_{\rm +}(92\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(108\,{\rm kHz})| = 0.477\,{\rm V},$$

sowie weitere, vernachlässigbare Diraclinien im Abstand $4 \ \rm kHz$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Frequenzmodulation.
Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Phasenmodulation und insbesondere auf den Abschnitt Signalverl.äufe bei Frequenzmodulation.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

	Phasenmodulation.
	Frequenzmodulation.

$η_2 \ = \ $

$A_{\rm T} \ = \ $

$\ \rm V$

$B_2 \ = \ $

$\ \rm kHz$

$η_4\ = \ $

$B_4 \ = \ $

$\ \rm kHz$

Musterlösung

Solution

(1) Es handelt sich um eine Frequenzmodulation ⇒ Antwort 2.

Bei Phasenmodulation würden sich die Gewichte der Diraclinien bei der Frequenzverdopplung nicht ändern.

(2) Die angegebene Spektralfunktion lässt aufgrund von Symmetrieeigenschaften auf die Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$ schließen. Da bei $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$ die Spektrallinie bei $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$ verschwindet, ist $η_2 \hspace{0.15cm}\underline { ≈ 2.4}$ zu vermuten. Eine Kontrolle der weiteren Impulsgewichte bestätigt das Ergebnis:

$$\frac { |S_{\rm +}(f =102\,{\rm kHz})|}{ |S_{\rm +}(f =104\,{\rm kHz})|} = 1.206,\hspace{0.2cm} \frac { {\rm J}_1(2.4)}{ {\rm J}_2(2.4)}= 1.206 \hspace{0.05cm}.$$

(3) Die Gewichte der Diraclinien bei $f_{\rm T} + n · f_{\rm N}$ lauten allgemein:

$$D_n = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_n(\eta)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_1 = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_1(\eta)}\hspace{0.05cm}.$$

Daraus folgt $A_{\rm T} = D_1/{\rm J}_1(η) = 1.560\ \rm V/0.520\hspace{0.15cm}\underline { = 3 \ V}$.

(4) Mit der Forderung $K < 1\%$ gilt folgende Faustformel (Carson–Regel):

$$B_{\rm 2} = 2 \cdot f_{\rm N} \cdot (\eta +2) \hspace{0.15cm}\underline {= 17.6\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$

Somit stehen dem Empfänger die Fourierkoeffizienten $D_{–4}$, ... , $D_4$ zur Verfügung.

(5) Bei Frequenzmodulation gilt allgemein:

$$\eta = \frac{K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{ \omega_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$

Durch Verdopplung der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$ wird also der Modulationsindex halbiert: $η_4 = η_2/2\hspace{0.15cm}\underline { = 1.2}$.

(6) Die für $K < 1\%$ erforderliche Kanalbandbreite ergibt sich nach gleicher Rechnung wie in der Teilaufgabe (4) zu

$$B_4 = 3.2 · 8\ \rm kHz \hspace{0.15cm}\underline {= 25.6 \ \rm kHz}.$$

⇒ Aufgrund des um den Faktor $2$ kleineren Modulationsindex genügt es für die Begrenzung des Klirrfaktors auf 1%, die Fourierkoeffizienten $D_{–3}$, ... , $D_3$ zu übertragen.