Exercise 3.9: Circular Arc and Parabola

Kreisbogen und Parabel

Wir betrachten hier die Frequenzmodulation eines cosinusförmigen Quellensignals

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t )$$

mit der Amplitude $A_{\rm N} = 1 \ \rm V$ und der Frequenz $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$. Der Modulationsindex (Phasenhub) beträgt $η = 2.4$. Das zugehörige TP–Signal lautet bei normierter Trägeramplitude ($A_{\rm T} = 1$):

$$ s_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$

Dieses beschreibt einen Kreisbogen. Innerhalb der Periodendauer $T_{\rm N} = 1/f_{\rm N} = 200 \ \rm μs$ ergeben sich folgende Phasenwinkel:

$$ \phi(0) = 0, \hspace{0.2cm}\phi(0.25 \cdot T_{\rm N}) = \eta, \hspace{0.2cm}\phi(0.5 \cdot T_{\rm N})= 0,\hspace{0.2cm} \phi(0.75 \cdot T_{\rm N})= -\eta,\hspace{0.2cm}\phi(T_{\rm N})= 0.$$

Die erforderliche Kanalbandbreite zur Übertragung dieses Signals ist theoretisch unendlich groß.
Ist die Bandbreite jedoch begrenzt, zum Beispiel auf $B_{\rm K} = 25 \ \rm kHz$, so kann das äquivalente TP–Signal des Empfangssignals wie folgt beschrieben werden:

$$r_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - 2}^{+2}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$

In diesem Fall ergibt sich eine parabelförmige Ortskurve

$$ y^2 + a \cdot x + b = 0,$$

die in dieser Aufgabe analysiert werden soll.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Frequenzmodulation.
Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Phasenmodulation und insbesondere auf den Abschnitt Signalverläufe bei Frequenzmodulation.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Gehen Sie bei der Berechnung von folgenden Werten der Besselfunktion aus:

$${\rm J}_0 (2.4) \approx 0, \hspace{0.2cm}{\rm J}_1 (2.4) = -{\rm J}_{-1} (2.4)\approx 0.52, \hspace{0.2cm}{\rm J}_2 (2.4) = {\rm J}_{-2} (2.4)\approx 0.43.$$

Fragebogen

$K_{\rm FM} \ = \ $

$\ \rm (Vs)^{-1}$

$x_{\rm max} \ = \ $

$x_{\rm min} \ = \ $

$y_{\rm max} \ = \ $

$y_{\rm min} \ = \ $

$ϕ(t = n · T_{\rm N}/2) \ = \ $

$\ \rm Grad$

$ϕ_{max} \ = \ $

$\ \rm Grad$

$a\ = \ $

$b\ = \ $

Musterlösung

Solution

1. Bei Frequenzmodulation eines Cosinussignals gilt für den Modulationsindex: $$ \eta = \frac{K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{ \omega_{\rm N}} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K_{\rm FM} = \frac{2 \pi \cdot f_{\rm N }\cdot \eta}{ A_{\rm N}}=$$ $$= \frac{2 \pi \cdot 5 \cdot 10^3 \,{\rm Hz}\cdot 2.4}{ 1\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 7.54 }\cdot 10^4 \,\,{\rm V}^{-1}{\rm s}^{-1}\hspace{0.05cm}.$$ 2. Die angegebene Gleichung für das äquivalente TP–Signal lautet in ausgeschriebener Form mit der Abkürzung $γ = ω_N · t$ unter Berücksichtigung von $J_{–1} = –J_1$ und $J_{–2} = J_2$: $$r_{\rm TP}(t) = {\rm J}_0 + \left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} - {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} \right]\cdot {\rm J}_1 \hspace{0.27cm} +\left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} \right]\cdot {\rm J}_2 =$$ $$ = {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm j} \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma)+ 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2\gamma)\hspace{0.05cm} .$$ Somit ergibt sich für den Realteil allgemein bzw. für $η = 2.4$, das heißt $J_0 = 0$, $J_2 = 0.43$: $$ x(t) = {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) = 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) \hspace{0.05cm}$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm max} = 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.15cm}\underline { = 0.86}, \hspace{0.3cm} x_{\rm min} = -x_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline {= -0.86}\hspace{0.05cm}.$$ 3. Entsprechend dem Ergebnis aus b) erhält man für den Imaginärteil ($J_1 = 0.52$): $$y(t) = 2 \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin ( \omega_{\rm N} t )\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm max} =2 \cdot {\rm J}_1\hspace{0.15cm}\underline { = 1.04}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} y_{\rm min} = -y_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline { = -1.04}\hspace{0.05cm}.$$

4. Der Imaginärteil ist zu diesen Zeitpunkten jeweils 0 und damit auch die Phasenfunktion. Diesen Sachverhalt erkennt man auch aus der Skizze auf der Angabenseite.

5. Aus der Skizze ist bereits zu erkennen, dass der Phasenwinkel beispielsweise für $t = T_N/4$ seinen Maximalwert erreicht. Dieser kann mit $y_{max} = 1.04$ und $x_{min} = –0.86$ wie folgt berechnet werden: $$\phi_{\rm max} = \arctan \frac{y_{\rm max}}{x_{\rm min}} = \arctan (-1.21) = 180^\circ - 50.4^\circ \hspace{0.15cm}\underline {= 129.6^\circ} \hspace{0.05cm}.$$ Ohne Bandbegrenzung würde sich hier der Phasenwinkel $ϕ(t = T_N/4) = η = 2.4 = 137.5°$ ergeben. Die maximale Abweichung des Sinkensignals vom Quellensignal tritt somit z.B. zur Zeit $t = T_N/4$ auf.

6. Mit $γ = ω_N · t$ und $cos(2γ) = 1 – 2 · cos^2(γ)$ kann für Real– und Imaginärteil geschrieben werden: $$x = {\rm J}_0 + 4 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos^2 (\gamma) - 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} y = 2 \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma) \hspace{0.05cm}.$$ Diese Gleichungen können wie folgt umgeformt werden: $$\cos^2 (\gamma) =\frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \sin^2 (\gamma) = \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2}$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2} + \frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} =1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {y^2 } + \frac{{\rm J}_1^2}{ {\rm J}_2} \cdot x + {{\rm J}_1^2} \cdot \left ( 2 - \frac{{\rm J}_0}{ {\rm J}_2} \right ) =0\hspace{0.05cm}.$$

Damit lauten die Parabelparameter für $J_0 = 0$: $$a = \frac{{\rm J}_1^2}{ {\rm J}_2} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.629}, \hspace{0.3cm} b = 2 \cdot {\rm J}_1^2 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.541} \hspace{0.05cm}.$$ Zur Kontrolle verwenden wir $y = 0$: $$ x_{\rm max} = \frac{b}{a} = 2 \cdot {\rm J}_2 = 0.86 \hspace{0.05cm}.$$ Die Werte bei $x = 0$ sind somit: $$y_0 = \pm \sqrt{2} \cdot {\rm J}_1 \approx 0.735 \hspace{0.05cm}.$$