Exercise 1.1: Basic Transmission Pulses

Sendegrundimpulse

Wir untersuchen in dieser Aufgabe die zwei in der Grafik dargestellten Sendesignale $s_{\rm R}(t)$ und $s_{\rm C}(t)$ mit Rechteck– bzw. cos2–Sendegrundimpuls. Insbesondere sollen für die jeweiligen Impulse $g_s(t)$ folgende Kenngrößen berechnet werden:

die äquivalente Impulsdauer von $g_s(t)$:

$$\Delta t_{\rm S} = \frac {\int ^{+\infty} _{-\infty} \hspace{0.15cm} g_s(t)\,{\rm d}t}{{\rm Max} \hspace{0.05cm}[g_s(t)]} \hspace{0.05cm},$$

die Energie des Sendegrundimpulses $g_s(t)$:

$$E_g = \int^{+\infty} _{-\infty} g_s^2(t)\,{\rm d}t \hspace{0.05cm},$$

die Leistung des Sendesignals $s(t)$:

$$P_{\rm S} = \lim_{T_{\rm M} \to \infty} \frac{1}{+T_{\rm M}} \cdot \int^{+T_{\rm M}/2} _{-T_{\rm M}/2} s^2(t)\,{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$

Gehen Sie bei Ihren Berechnungen stets davon aus, dass die beiden möglichen Amplitudenkoeffizienten gleichwahrscheinlich sind und dass der Abstand zwischen benachbarten Symbolen $T = 1 \ \rm μs$ beträgt. Dies entspricht einer Bitrate von $R = 1 \ \rm Mbit/s$.

Der (positive) Maximalwert des Sendesignals ist in beiden Fällen gleich

$$s_0 = \sqrt{0.5\, {\rm W}} \hspace{0.05cm}.$$

Unter der Annahme, dass der Sender mit einem Widerstand von 50 Ω abgeschlossen ist, entspricht dies dem folgenden Spannungswert:

s_0 = \sqrt{0.5\, {\rm W}} \hspace{0.05cm}.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Systemkomponenten eines Basisbandübertragungssystems.
Bezug genommen wird insbesondere auf den AbschnittKenngrößen des digitalen Senders.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Gegeben ist das folgende unbestimmte Integral:

$$\int \cos^4(a x)\,{\rm d}x = \frac{3}{8} \cdot x + \frac{1}{4a} \cdot \sin(2 a x)+ \frac{1}{32a} \cdot \sin(4 a x)\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

	$s_{\rm R}(t)$ ist ein bipolares Signal.
	$s_{\rm c}(t)$ ist ein bipolares Signal.

$\text{Beim Signal}\ s_{\rm R}(t) \text{:} \ \ \Delta t_{\rm S}/T \ = \ $

$\text{beim Signal}\ s_{\rm C}(t) \text{:} \ \ \Delta t_{\rm S}/T \ = \ $

$E_g \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6}\ \rm Ws$

$P_{\rm S} \ = \ $

$\ \rm W$

$E_g \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6}\ \rm Ws$

$P_{\rm S} \ = \ $

$\ \rm W$

Musterlösung

Solution

(1) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

In beiden Fällen kann das Sendesignal in folgender Form

$$s(t) = \sum_{(\nu)} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T)$$

Beim Signal $s_{\rm R}(t)$ sind die Amplitudenkoeffizienten $a_ν$ entweder $0$ oder $1$. Es liegt also ein unipolares Signal vor.
Beim bipolaren Signal $s_{\rm R}(t)$ gilt dagegen $a_ν ∈ \{–1, +1\}$.

(2) Das Signal $s_{\rm R}(t)$ ist NRZ–rechteckförmig. Dementsprechend sind sowohl die absolute Impulsdauer $T_{\rm S}$ als auch die äquivalente Impulsdauer $\Delta t_{\rm S}$ gleich der Symboldauer $T$:

$$T_{\rm S} / T = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}\Delta t_{\rm S} / T \hspace{0.1cm}\underline{ = 1 }\hspace{0.05cm}.$$

Der Sendegrundimpuls für das Signal $s_{\rm C}(t)$ lautet:

$$g_s(t) = \left\{ \begin{array}{c} s_0 \cdot \cos^2(\pi \cdot \frac{t}{T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} -T/2 \le t \le +T/2 \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass für den $\cos^2$–Impuls folgende Werte gelten:

$$T_{\rm S} / T = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}\Delta t_{\rm S} / T \hspace{0.1cm}\underline{ = 0.5} \hspace{0.05cm}.$$

c) Für die Energie des Rechteckimpulses gilt: d) Bei einem bipolaren Rechtecksignal würde gelten: Da das Signal sR(t) hier jedoch unipolar ist, gilt in der Hälfte der Zeit sR(t) = 0. Somit ergibt sich: e) Für die Energie des cos2–Impulses gilt: Hierbei ist die unter Punkt c) hergeleitete Formel und die Symmetrie von gs(t) um den Zeitpunkt t = 0 berücksichtigt. Das Integral ist bei der Aufgabenbeschreibung angegeben, wobei a = π/T zu setzen ist: Die untere Grenze t = 0 liefert stets das Ergebnis 0. Hinsichtlich der oberen Grenze ergibt sich nur für den ersten Term ein von 0 verschiedenes Ergebnis. Daraus folgt: f) Beim bipolaren Signal sC(t) gilt folgender Zusammenhang:

(3) Um die Überlegungen zur Teilaufgabe (2) nutzen zu können, transformieren wir die Aufgabenstellung in den Uplink: Der gleiche Kanal mit der Kennung $k_{\rm F}$, der im Downlink die Frequenz 940 MHz nutzt, liegt im Uplink bei 895 MHz. Damit gilt:

$$k_{\rm F} = 1 + \frac {895 \,\,{\rm MHz } - 890.2 \,\,{\rm MHz } }{0.2 \,\,{\rm MHz }} \hspace{0.15cm}\underline {= 25}.$$

(4) In einem TDMA–Rahmen der Dauer 4.62 Millisekunden können $K_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline{ = 8}$ Zeitschlitze mit jeweiliger Dauer $T = 577 \ \rm μs$ untergebracht werden. Anmerkung: Bei GSM wird tatsächlich $K_{\rm T} = 8$ verwendet.

(5) Mit den Ergebnissen der Teilaufgaben (1) und (4) erhält man:

$$K = K_{\rm F} \cdot K_{\rm T} = 124 \cdot 8 \hspace{0.15cm}\underline {= 992}$$

(6) Während der Zeit $T = 577 \ \rm μs$ müssen 156 Bit übertragen werden. Damit stehen für jedes Bit die Zeit $T_{\rm B} = 3.699 \ \rm μs$ zur Verfügung. Daraus ergibt sich die (Brutto–)Bitrate

$$R_{\rm Brutto} = \frac {1 }{T_{\rm B}}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 270 \,\,{\rm kbit/s }}.$$

Diese Brutto–Bitrate beinhaltet neben den das Sprachsignal beschreibenden Datensymbolen auch die Trainigssequenz zur Kanalschätzung und die Redundanz für die Kanalcodierung. Die Netto–Bitrate beträgt beim GSM–System für jeden der acht Benutzer nur etwa 13 kbit/s.