Exercise 4.16: Comparison between Binary PSK and Binary FSK
Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für eine binäre FSK–Modulation bei
im Vergleich zur binären Phasenmodulation (BPSK).
Es wird stets Orthogonalität vorausgesetzt. Bei kohärenter Demodulation kann hierbei der Modulationsindex ein Vielfaches von $h = 0.5$ sein, so dass die mittlere Kurve auch für Minimum Shift Keying (MSK) gültig ist. Dagegen muss bei nichtkohärenter Demodulation einer FSK der Modulationsindex ein Vielfaches von $h = 1$ sein.
Diesem Systemvergleich liegt wieder der AWGN–Kanal zugrunde, gekennzeichnet durch das Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$. Die Gleichungen für die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten lauten bei
- Binary Phase Shift Keying (BPSK):
- $$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ),$$
- Binary Frequency Shift Keying (BFSK) mit kohärenter Demodulation:
- $$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{2 \cdot N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ),$$
- Binary Frequency Shift Keying (BFSK) mit inkohärenter Demodulation:
- $$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{(2N_0) }}\hspace{0.05cm}.$$
In Aufgabe 4.8 wurde gezeigt, dass bei der BPSK das logarithmierte Verhältnis $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0$ mindestens $9.6 \ \rm dB$ betragen muss, damit die Bitfehlerwahrscheinlichkeit den Wert $p_{\rm B} = 10^{–5}$ nicht überschreitet.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Nichtlineare digitale Modulation.
- Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Lineare digitale Modulation.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Verwenden Sie die Näherung $\lg(2) ≈ 0.3$.
Fragebogen
Musterlösung
In anderen Worten: Die kohärente BFSK–Kurve liegt um $10 · \lg (2) ≈ 3 \ \rm dB$ rechts von der BPSK–Kurve. Um $p_{\rm B} \le 10^{–5}$ zu garantieren, muss daher gelten:
- $$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.05cm}{E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 9.6\,\,{\rm dB} + 3\,\,{\rm dB} = \underline{12.6\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:
- Die angegebene Gleichung gilt nicht nur für die MSK (diese ist eine FSK mit $h = 0.5$), sondern für jede Form von orthogonaler FSK.
- Eine solche liegt vor, wenn der Modulationsindex $h$ ein ganzzahliges Vielfaches von $0.5$ ist, zum Beispiel für $h = 1$.
- Mit $h = 0.7$ ergibt sich keine orthogonale FSK. Es kann aber gezeigt werden, dass sich für $h = 0.7$ sogar eine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit als bei orthogonaler FSK ergibt.
- Mit $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$ erreicht man hier sogar $p_{\rm B} ≈ 10^{–6}$, also eine Verbesserung um eine Zehnerpotenz.
(3) Aus der Umkehrfunktion der angegebenen Gleichung erhält man:
- $$\frac{E_{\rm B}} {2 \cdot N_{\rm 0}}= {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{1}{2 p_{\rm B}}= {\rm ln}(50000)\approx 10.82 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 21.64 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.05cm}{E_{\rm B}}/ {N_{\rm 0}}\approx \underline{13.4\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Aus $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$ folgt:
- $${E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 10^{1.26} \approx 16.8 \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm} ({E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}})/2 \approx 8.4 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- 8.4} \approx \underline{1.12 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$
Das heißt: Bei gleichem $E_{\rm B}/N_0$ wird die Fehlerwahrscheinlichkeit bei inkohärenter Demodulation gegenüber kohärenter Demodulation (siehe Teilaufgabe 1) um etwa den Faktor 11 vergrößert.
