Linear Digital Modulation - Coherent Demodulation

1 Gemeinsames Blockschaltbild für ASK und BPSK
2 Rauschbetrachtung zum BPSK–System
3 Fehlerwahrscheinlichkeit des optimalen BPSK–Systems
4 Fehlerwahrscheinlichkeit des optimalen ASK–Systems
5 Fehlerwahrscheinlichkeit bei 4–QAM und 4–PSK
6 Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger
7 Basisbandmodell für ASK und BPSK (1)
8 Basisbandmodell für ASK und BPSK (2)
9 Aufgaben

Gemeinsames Blockschaltbild für ASK und BPSK

Im Kapitel Lineare digitale Modulation des Buches „Modulationsverfahren” wurden die digitalen Trägerfrequenzsysteme

ASK (Amplitude Shift Keying) und
BPSK (Binary Phase Shift Keying)

bereits ausführlich beschrieben. In diesem Kapitel wird nun die Bitfehlerwahrscheinlichkeit dieser Systeme berechnet, wobei von dem folgenden gemeinsamen Blockschaltbild ausgegangen wird:

Blockschaltbild, gültig sowohl für ein ASK– und BPSK–Übertragungssystems gleichermaßen

Im Folgenden gelten wieder die folgenden Voraussetzungen:

Die Demodulation geschieht stets kohärent. Das heißt: Beim Empfänger wird ein Trägersignal $z_{\rm E}(t)$ mit gleicher Frequenz wie beim Sender zugesetzt, aber mit doppelter Amplitude. Der Phasenversatz zwischen dem senderseitigen Trägersignal $z(t)$ und dem empfangsseitigen Trägersignal $z_{\rm E}(t)$sei zunächst $\Delta \phi_{\rm T} = 0$.
Bei BPSK wird von den bipolaren Amplitudenkoeffizienten $a_\nu \in \{-1, +1\}$ ausgegangen und die Entscheiderschwelle liegt bei $E = 0$. Dagegen gilt bei ASK $a_\nu \in \{0, 1\}$. Die Entscheiderschwelle $E$ ist für diesen unipolaren Fall bestmöglich zu wählen.
Wir betrachten stets den AWGN–Kanal, das heißt, dass für den Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f) = 1$ gilt und $n(t)$ weißes Gaußsches Rauschen mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte $N_0$ darstellt.
Die Entzerrung linearer Kanalverzerrungen – also der Fall $H_{\rm K}(f) \ne \rm const,$ – ist in gleicher Weise möglich wie bei der Basisbandübertragung. Hierzu sei auf das Kapitel Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung verwiesen.

Rauschbetrachtung zum BPSK–System

Wir gehen zunächst von einem bipolaren rechteckförmigen Quellensignal $q(t)$ mit der Amplitude $\pm s_0$ aus. Dessen normiertes Spektrum lautet: $H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T)$.

Ebenso wie bei der Basisbandübertragung ergibt sich die kleinstmögliche Bitfehlerwahrscheinlichkeit für das Empfangsfilter $H_{\rm E}(f) = H_{\rm S}^*(f) = {\rm si}(\pi f T)$. Die Signalverläufe dieses BPSK–Systems mit Matched–Filter–Empfänger zeigen:

Das Detektionsnutzsignal $d_{\rm S}(t)$ – also ohne Rauschanteil – ist zu allen Detektionszeitpunkten $\nu \cdot T$ stets $\pm s_0$, wobei das Vorzeichen durch die Amplitudenkoeffizienten $a_\nu \in \{-1, +1\}$ festgelegt sind.
Wie beim vergleichbaren Basisbandsystem beträgt die Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B} = {\rm Q}(s_0/\sigma_d)$, wobei ${\rm Q}(x)$ das komplementäre Gaußsche Fehlerintergral bezeichnet.

Rauschleistungsdichten vor und nach der empfangsseitigen Multiplikation des Trägers

Unterschiedlich zum Basisbandsystem ist jedoch die Rauschleistung. Der Rauschanteil $b_{\rm N}(t)$ ergibt sich durch die Multiplikation des Bandpassrauschens $n(t)$ mit dem empfangsseiten Träger $z_{\rm E}(t) =2 \cdot \cos(2\pi f t)$ und besitzt die Rauschleistungsdichte

$${\it \Phi}_{b{\rm N}}(f)={\it \Phi}_{n}(f) \star \left[ 1^2 \cdot \delta ( f - f_{\rm T})+ 1^2 \cdot \delta ( f + f_{\rm T})\right].$$

Die Grafik verdeutlicht diese Gleichung am Beispiel von bandbegrenztem weißen Rauschen mit der Bandbreite $B_n$:

Während ${\it \Phi}_{n}(f = f_{\rm T}) = N_0/2$gilt, ist ${\it \Phi}_{b{\rm N}}(f=0) = N_0$.
Die Anteile um $\pm 2f_{\rm T}$ werden durch das nachfolgende Empfangsfilter $H_{\rm E}(f)$ eliminiert und spielen für die weiteren Betrachtungen keine Rolle.
Bei echt weißem Rauschen gilt mit dem Grenzübergang $B_n \to \infty$:

$${{\it \Phi}_{n}(f)}={N_0}/{2}, \hspace{0.3cm}{{\it \Phi}_{b{\rm N}}(f)}={N_0}.$$

Fehlerwahrscheinlichkeit des optimalen BPSK–Systems

Die gerade durchgeführten Betrachtungen zeigen, dass man zur Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit des BPSK–Systems auf die beiden Multiplikationen mit $z(t)$ und $z_{\rm E}(t) = 2 \cdot z(t)$ verzichten kann, wenn man die Rauschleistung verdoppelt.

Ersatzschaltbild der BPSK

Damit ergibt sich bei AWGN–Rauschen für die Rauschleistung vor dem Entscheider:

$${\sigma_d}^2 = N_0 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} {\rm si}^2(\pi \hspace{0.01cm} f \hspace{0.05cm} T_{\rm B}) \,{\rm d} f = {N_0}/{T_{\rm B}},$$

also der doppelte Wert als bei der Basisbandübertragung. Hinweis: Um später einen Vergleich mit der Quadratur–Amplitudenmodulation (QAM) zu ermöglichen, wurde hier die Symboldauer $T$ durch die Bitdauer $T_{\rm B}$ ersetzt. Bei der BPSK (und auch bei der ASK) gilt $T_{\rm B}=T$. Damit lautet die BPSK–Fehlerwahrscheinlichkeit mit den zwei üblichen Gaußschen Fehlerfunktionen:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B}}{N_0 }}\hspace{0.1cm} \right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B}}{2 \cdot N_0 }}\hspace{0.1cm} \right ).$$

Berücksichtigt man weiter, dass die bei BPSK aufgewandte Energie pro Bit

$$E_{\rm B} = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}$$

beträgt, so kann diese Gleichung wie folgt umgeformt werden:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) ={1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ).$$

Es ergibt sich somit genau die gleiche Formel wie bei der Basisbandübertragung, bei der jedoch für die „Energie pro Bit” $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T_{\rm B}$ zu verwenden war und nicht wie hier $E_{\rm B} = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}$.

Anmerkung: Diese letzte Gleichung gilt nicht nur bei Rechteck–Quellensignal ⇒ $H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T)$, sondern für jedes beliebige $H_{\rm S}(f)$, solange

das Empfangsfilter $H_{\rm E}(f) = H_{\rm S}^{\hspace{0.1cm}*}(f)$ exakt an den Sender angepasst ist,
das Produkt $H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$ das erste Nyquistkriterium erfüllt.

Fehlerwahrscheinlichkeit des optimalen ASK–Systems

Wir betrachten nun ein ASK–System bei gleichen Voraussetzungen wie das BPSK–System. Hier

sind alle Detektionsnutzsignalwerte $d_{\rm S}(\nu \cdot T)$ ) entweder $0$ oder $s_0$,
ist dementsprechend der Abstand von der Schwelle $E = s_0/2$ jeweils $s_0/2$,
ist der Rauscheffektivwert $\sigma_d= \sqrt{N_0}/{T_{\rm B}}$ genau so groß wie bei BPSK,
ist die Energie pro Bit nur halb so groß wie bei BPSK: $E_{\rm B} = {1}/{4}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}.$

Damit lauten die entsprechenden Gleichungen für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit als Funktion von $s_0$ bzw. von $E_{\rm B}$ :

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0/2}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B}}{4 \cdot N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ),$$

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{2 \cdot N_0 }} \right ).$$

Die Grafik zeigt die Fehlerwahrscheinlichkeiten von ASK und BPSK abhängig vom Quotienten $E_{\rm B}/N_0$.

Bitfehlerwahrscheinlichkeiten von ASK und BPSK

Man erkennt aus dieser doppelt–logarithmischer Darstellung:

Die ASK–Kurve liegt um $3 \ \rm dB$ rechts von der BPSK–Kurve. Für die Fehlerwahrscheinlichkeit $10^{-8}$ benötigt man bei BPSK etwa $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 12 \ \rm dB$, bei ASK dagegen ca. $15 \ \rm dB$.
Der Systemvergleich bei dem festen Abszissenwert $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$ liefert für die BPSK $p_{\rm B} = 2 \cdot 10^{-4}$ und für die ASK $p_{\rm B} = 6 \cdot 10^{-3}$.

Fehlerwahrscheinlichkeit bei 4–QAM und 4–PSK

Die Quadratur–Amplitudenmodulation (QAM) wurde im Buch „Modulationsverfahren” bereits ausführlich beschrieben. Aus Signalraumzuordnung und den Signalverläufen ist zu entnehmen:

Die 4–QAM kann durch zwei zueinander orthogonale BPSK–Systeme mit Cosinus– bzw. Minus–Sinus–Träger dargestellt werden.
Das binäre Quellensignal $q(t)$ mit der Bitdauer $T_{\rm B}$ ⇒ Bitrate $R_{\rm B}$ wird in zwei Teilsignale $q_{\rm I}(t)$ ⇒ Inphase-Komponente und $q_{\rm Q}(t)$ ⇒ Quadratur-Komponente mit jeweils halber Rate aufgespaltet (Seriell–Parallel–Wandlung). Die Symboldauer von $q_{\rm I}(t)$ bzw. $q_{\rm Q}(t)$ beträgt jeweils $T = 2\cdot T_{\rm B}$ und die Symbolrate ist jeweils $R_{\rm B}/2$.
Die Amplituden der beiden orthogonalen Trägersignale sind um den Faktor $\sqrt{2}$ kleiner gewählt als bei der BPSK, so dass die Hüllkurve des Sendesignals $s(t)$ wiederum $s_0$ beträgt.

Die Fehlerwahrscheinlichkeit der QAM ist die gleiche wie die der zwei orthogonalen BPSK–Systemen. Wegen der kleineren Signalamplitude und der niedrigeren Symbolrate gilt:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0/\sqrt{2}}{\sigma_d } \right ) \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}{\sigma_d}^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot T_{\rm B}} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 }{2} \cdot \frac{2 \cdot T_{\rm B} }{N_0}}\hspace{0.1cm}\right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ).$$

$\text{Fazit:}$

Obwohl mit der 4–QAM gegenüber der BPSK die doppelte Informationsmenge übertragen werden kann, ergibt sich in Abhängigkeit von $E_{\rm B}/{N_0 }$ die genau gleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$.
Berücksichtigt ist hierbei, dass auch bei der 4–QAM für die mittlere Energie pro Bit gilt: $E_{\rm B} = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}.$
Da sich die quaternäre Phasenmodulation (4–PSK) von der 4–QAM nur um eine Phasenverdrehung von $45^\circ$ unterscheidet, ergibt sich auch für diese bei Berücksichtigung geeigneter Entscheidungsgebiete die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit.

$\text{Beispiel 1:}$ Die Grafik zeigt Phasendiagramme von Binary Phase Shift Keying (BPSK):

Die beiden Diagramme unterscheiden sich allein durch die Trägerphase. In beiden Fällen gilt $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 6 \ \rm dB$.
In der linken Grafik erkennt man Bitfehler (durch Kreise hervorgehoben) durch gelbe Kreuze rechts von der vertikalen Entscheiderschwelle bzw. durch blaue Kreuze in der linken Halbebene.
In der rechten Grafik weisen gelbe Kreuze oberhalb der horizontalen Schwelle und blaue Kreuze unterhalb auf Bitfehler hin.

Phasendiagramme bei BPSK mit Cosinusträger (links) Minus–Sinusträger (rechtss)

Der Abstand der Nutzabtastwerte ohne Rauschen (markiert durch die weißen Punkte) von der jeweiligen Entscheiderschwelle (grün markiert) beträgt jeweils $s_0$. Die Varianz der Detektionsabtastwerte – erkennbar am Radius der Punktwolken – ist gleich

$${\sigma_d}^2 = \frac{N_0 }{ T_{\rm B} }= \frac{s_0^2/2 }{ E_{\rm B}/N_0},\hspace{0.3cm}{\rm wegen}\hspace{0.2cm}E_{\rm B} = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}.$$

Mit $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 6 \ \rm dB$ ⇒ $E_{\rm B}/N_0 = 10^{0.6} \approx 4$ ergibt sich daraus:

$${ {\sigma_d}^2 }/{ {s_0}^2}= [ { 2 \cdot 10^{0.6} }]^{-1} \approx 0.125\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} { {\sigma_d} }/{ {s_0} }\approx 0.35 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( s_0/{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{2 \cdot 10^{0.6} } \hspace{0.08cm}\right ) = {\rm Q}(2.8) \approx 2 \cdot 10^{-3}.$$

Phasendiagramm bei 4–QAM

$\text{Beispiel 2:}$ Nun betrachten wir ein Phasendiagramm der 4–QAM, die man als zwei orthogonale BPSK–Systeme mit Cosinus– und Minus–Sinusträger auffassen kann.

Hier kommt es zu einem Bitfehler, wenn die horizontale oder die vertikale Entscheiderschwelle überschritten wird.
In der Grafik erkennt man einen solchen Bitfehler, wenn ein Kreuz farblich nicht zu seinem Quadranten passt.
Der Abstand der nunmehr vier Nutzabtastwerte ohne Rauschen (markiert durch weiße Punkte) vom Ursprung ist wieder $s_0$.
Der Abstand zu den Entscheiderschwellen ist bei 4–QAM allerdings um den Faktor $\sqrt{2}$ geringer als bei BPSK.
Der Rauscheffektivwert $\sigma_d$ ist bei 4–QAM um den gleichen Faktor $\sqrt{2}$ kleiner als bei BPSK.
Somit sind die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten von 4–QAM und BPSK gleich: $p_{\rm B} \approx 2 \cdot 10^{-3}.$

Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger

Voraussetzung für die Gültigkeit der bisherigen Gleichungen ist eine strenge Synchronität zwischen den bei Sender und Empfänger zugesetzten Trägersignalen. Nun wird ein Phasenversatz Δϕ_T zwischen den beiden Trägersignalen angenommen, während weiterhin von Frequenzsynchronität ausgegangen wird.

Phasendiagramme bei BPSK und 4–QAM mit Δϕ_T = 30°.

Die Grafik zeigt die Phasendiagramme für Δϕ_T = 30°. Man erkennt:

Sowohl bei BPSK (links) als auch bei der 4–QAM (rechts) bewirkt ein Phasenversatz um Δϕ_T eine Drehung des Phasendiagramms.
Bei BPSK bewirkt der Phasenversatz ein um cos(Δϕ_T) kleineres Nutzsignal. Den gleichen Effekt haben wir bereits beim Synchrondemodulator eines analogen Übertragungssystems festgestellt.
Demzufolge wird auch der Abstand des Detektionsnutzsignals von der Entscheiderschwelle um den gleichen Faktor geringer, was zu einer höheren Fehlerwahrscheinlichkeit führt:\[p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\cdot \cos({\rm \Delta} \phi_{\rm T})\right ) .\]

Mit den hier zugrundeliegenden Zahlenwerten (10 · lg E_B/N₀ = 6 dB, Δϕ_T = 30°) erhöht sich die Fehlerwahrscheinlichkeit der BPSK von 0.2% auf etwa 0.6%. Dagegen wird bei der 4–QAM (rechtes Diagramm) die Fehlerwahrscheinlichkeit mit ϕ_T = 30° nahezu um den Faktor 40 größer (p_B ≈ 8%). Allgemein gilt hier für die 4–QAM, falls |Δϕ_T| < 45°, wie in Aufgabe A1.9 gezeigt werden soll:\[p_{\rm B} = \frac{1}{2} \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\cdot \frac{\cos(45^\circ)}{\cos(45^\circ+{\rm \Delta} \phi_{\rm T})}\right) + \frac{1}{2} \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\cdot \frac{\cos(45^\circ)}{\cos(45^\circ-{\rm \Delta} \phi_{\rm T})}\right) .\]
Fazit: Obwohl man mit der 4–QAM über den gleichen Kanal die doppelte Information wie bei BPSK übertragen kann, weisen bei idealen Bedingungen beide Systeme die gleiche Übertragungsqualität (Fehlerwahrscheinlichkeit) auf. Bei nicht idealen Bedingungen – zum Beispiel einem Phasenversatz – steigt allerdings die Fehlerwahrscheinlichkeit der 4–QAM sehr viel stärker an als bei der BPSK.

Basisbandmodell für ASK und BPSK (1)

Die Grafik zeigt oben nochmals das Gesamtblockschaltbild eines Trägerfrequenzsystems mit kohärenter Demodulation, das für ASK (unipolare Amplitudenkoeffizienten) und BPSK (bipolare Koeffizienten) in gleicher Weise gültig ist. Durch die Multiplikation mit dem Trägersignal z(t) wird das Spektrum Q(f) des Quellensignals – und dementsprechend auch das Leistungsdichtespektrum Φ_q(f) – um die Trägerfrequenz ±f_T beidseitig verschoben. Nach dem Kanal wird diese Verschiebung durch den Synchrondemodulator wieder rückgängig gemacht.

Blockschaltbild und äquivalentes Basisbandmodell für die kohärente ASK bzw. BPSK

Geht man vom äquivalenten Basisbandmodell entsprechend der unteren Grafik aus, so lässt sich die Berechnung der Signale nach dem Demodulator vereinfachen:

Man kürzt quasi den Einfluss von Modulator und Demodulator und ersetzt den Bandpasskanal mit dem Frequenzgang H_K(f) durch eine geeignete Tiefpass–Übertragungsfunktion H_MKD(f), wobei der Index für „Modulator–Kanal– Demodulator” steht.
Unter Berücksichtigung einer Phasendifferenz Δϕ_T zwischen den Trägersignalen von Sender und Empfänger erhält man für die resultierende Übertragungsfunktion:

\[H_{\rm MKD}(f) = \frac{1}{2} \cdot \left [ {\rm e}^{\hspace{0.04cm}-{\rm j} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}{\rm \Delta} \phi_{\rm T}} \cdot H_{\rm K}(f-f_{\rm T}) +{\rm e}^{\hspace{0.04cm}{\rm j} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}{\rm \Delta} \phi_{\rm T}} \cdot H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\right ] .\]

Bei einem reellen und um die Trägerfrequenz f_T symmetrischen Kanalfrequenzgang H_K(f) – also falls H_K(f_T – f) = H_K(f_T + f) gilt – kann man diese Gleichung wie folgt vereinfachen:

\[H_{\rm MKD}(f) = \frac{\cos({\rm \Delta} \phi_{\rm T})}{2} \cdot \left [ H_{\rm K}(f-f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\right ] .\]

Die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten von ASK und BPSK können somit auch mit dem einfacheren Basisbandmodell berechnet werden, und zwar auch dann, wenn ein verzerrender Kanal H_K(f) vorliegt. Zu beachten ist, dass auch das Rauschsignal n(t) in den Tiefpassbereich transformiert werden muss. Bei weißem Rauschen muss hierzu Φ_n(f) = N₀/2 durch Φ_n,_TP (f) = N₀ ersetzt werden.

Basisbandmodell für ASK und BPSK (2)

Die Grafik verdeutlicht das Basisbandmodell anhand der Amplitudenspektren, wobei vereinfachend

ein gaußförmiges Q(f),
BPSK–Modulation,
ein rechteckförmiger Bandpasskanal H_K(f),
phasensynchrone Demodulation, und
ein ebenfalls rechteckförmiges Empfangsfilter H_E(f) mit Δf_E > Δf_K

vorausgesetzt werden.

Spektren des BPSK–Systems und des zugehörigen Basisbandmodells

Man erkennt:

Das Spektrum D(f) wird durch das äquivalente Basisbandmodell richtig wiedergegeben, obwohl sich die Spektren B(f) bzw. B'(f) um die doppelte Trägerfrequenz unterscheiden.
Die resultierende Übertragungsfunktion H_MKD(f) berücksichtigt auch die Bandbegrenzung durch den Kanal, der in diesem Beispiel als rechteckförmig um die Trägerfrequenz angenommen wurde.