Contents
- 1 Rayleigh– und Riceverteilung
- 2 Nichtkohärente Demodulation von On–Off–Keying
- 3 Nichtkohärente Demodulation von On–Off–Keying (2)
- 4 Nichtkohärente Demodulation von binärer FSK (1)
- 5 Nichtkohärente Demodulation von binärer FSK (2)
- 6 Herleitung: Fehlerwahrscheinlichkeit von nichtkohärenter BFSK
- 7 Nichtkohärente Demodulation von mehrstufiger FSK (1)
- 8 Nichtkohärente Demodulation von mehrstufiger FSK (2)
- 9 Aufgaben zum Kapitel
Rayleigh– und Riceverteilung
Die für eine kohärente Demodulation erforderliche Schätzung des Phasenwinkels aus dem ankommenden Signal ist bei vielen Anwendungen nicht oder nur eingeschränkt möglich. So führt die Bewegung eines Mobilteilnehmers mit hoher Geschwindigkeit zu sehr schnellen zeitlichen Änderungen des Phasenwinkels $\phi$, was dessen ausreichend genaue Bestimmung erschwert oder gar verhindert.
Diese Tatsache führt zu den nichtkohärenten Demodulationsverfahren mit dem Vorteil reduzierter Komplexität, allerdings mit erhöhter Verfälschungswahrscheinlichkeit. Bei der Herleitung der Gleichungen stößt man auf zwei Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen, die hier vorneweg angegeben werden:
- Die Rayleighverteilung erhält man für die WDF der Zufallsgröße $y$ mit Realisierung $\eta$, die sich aus den beiden gaußverteilten und statistisch unabhängigen Komponenten $u$ und $v$ (beide mit der gleichen Streuung $\sigma_n$ wie folgt ergibt:
- \[y = \sqrt{u^2 + v^2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_y (\eta) ={\eta}/{\sigma_n^2} \cdot {\rm exp } \left [ - {\eta^2}/{ (2\sigma_n^2)}\right ] \hspace{0.05cm}.\]
- Die Riceverteilung erhält man unter sonst gleichen Randbedingungen für den Fall, dass bei einer der Komponenten (entweder $u$ oder $v$) noch eine Konstante $C$ addiert wird:
- \[y = \sqrt{(u+C)^2 + v^2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_y (\eta) = {\eta}/{\sigma_n^2} \cdot {\rm exp } \left [ - ({\eta^2 + C^2})/(2 \sigma_n^2) \right ] \cdot {\rm I }_0 \left [{\eta \cdot C}/{ \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.05cm}.\]
Für die Riceverteilung benötigt man die modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung, deren Definition und Reihenentwicklung wie folgt lauten:
- \[{\rm I }_0 (x) = \frac{1}{ 2\pi} \cdot \int_{0}^{2\pi} {\rm e }^{-x \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\cos(\alpha)} \,{\rm d} \alpha \hspace{0.2cm} \approx \hspace{0.2cm} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(x/2)^{2k}}{k! \cdot \Gamma (k+1)} \hspace{0.05cm}.\]
Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen von Rayleigh– und Riceverteilung. Zu dieser Darstellung ist anzumerken:
- Die Riceverteilung ist durch die beiden Parameter $C$ und $\sigma_n$ bestimmt. Mit $C = 0$ ist die Rice–WDF identisch mit der Rayleigh–WDF.
- Die Rayleigh–WDF mit größerem $\sigma_n$ ist formgleich mit der gezeichneten Kurve $(\sigma_n = 0.5)$, jedoch im Verhältnis der Streuungen breiter und niedriger.
- $\sigma_n$ gibt die Streuungen der beiden gaußverteilten Zufallsgrößen $u$ und $v$ an (beide haben gleiche Streuung) und nicht die Streuung der rayleighverteilten Zufallsgröße $y$. Für diese gilt vielmehr:
- \[\sigma_y = \sigma_n \cdot \sqrt{2 - {\pi}/{2 }} \hspace{0.2cm} \approx \hspace{0.2cm} 0.655 \cdot \sigma_n \hspace{0.05cm}.\]
- Die Rayleighverteilung ist extrem unsymmetrisch, erkennbar am (relativ) großen Wert für das (normierte) Zentralmoment 3. Ordnung ⇒ Charliersche Schiefe: $\mu_3/\sigma_y \approx 0.27$.
- Die Riceverteilung ist um so symmetrischer, je größer das Verhältnis $C/\sigma_n$ von deterministischer und stochastischer Komponente ist. Für $C/\sigma_n \ge 4$ ist $\mu_3 \approx 0$.
- Weiterhin ist zu erkennen, dass sich die Riceverteilung (mit den Parametern $C$ und $\sigma_n$ immer mehr einer Gaußverteilung mit Mittelwert $C$ und Streuung $\sigma_n$ annähert, je größer der Quotient $C/\sigma_n$ ist:
- \[p_y (\eta) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma_n} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{(\eta - C)^2}{2 \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} m_y = C\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\sigma_y = \sigma_n \hspace{0.05cm}.\]
Nichtkohärente Demodulation von On–Off–Keying
Wir betrachten On–Off–Keying (bzw. 2–ASK) im äquivalenten Tiefpassbereich. Bei kohärenter Demodulation (linke Grafik) ist die Signalraumkonstellation des Empfangssignals gleich der des Sendesignals und besteht aus zwei Punkten. Die Entscheidungsgrenze $G$ liegt in der Mitte zwischen diesen Punkten $\boldsymbol{r}_0$ und $\boldsymbol{r}_1$. Die Pfeile markieren die grobe Richtung der Rauschvektoren, die eventuell zu Übertragungsfehlern führen.
Dagegen gilt bei nichtkohärenter Demodulation:
- Der Punkt $\boldsymbol{r}_1 = \boldsymbol{s}_1 = 0$ bleibt weiter erhalten.
- Dagegen kann $\boldsymbol{r}_0 = \boldsymbol{s}_0 \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\phi}$ auf jeden Punkt des Kreises um $\boldsymbol{s}_0$ liegen, da $\phi$ unbekannt ist.
- Der Entscheidungsprozess unter Berücksichtigung des AWGN–Rauschens ist nun 2–dimensional zu interpretieren, wie es durch die Pfeile in der rechten Grafik angedeutet ist.
- Das Entscheidungsgebiet $I_1$ ist nun ein Kreis, dessen Radius $G$ ein optimierbarer Parameter ist. Das Entscheidungsgebiet $I_0$ liegt außerhalb dieses Kreises.
Damit liegt die Strukur des optimalen OOK–Empfängers (im äquivalenten Tiefpassbereich) fest.
Nichtkohärente Demodulation von On–Off–Keying (2)
Entsprechend der Grafik auf der letzten Seite gilt:
- Das Eingangssignal r(t) = s(t) · exp(jϕ) + n(t) ist aufgrund des Phasenwinkels ϕ und wegen des komplexen Rauschterms im allgemeinen komplex. Alle komplexen Signale sind blau beschriftet.
- Erforderlich ist demzufolge nun die Korrelation zwischen dem komplexen Empfangssignal r(t) und einer komplexen Basisfunktion ξ1(t).
- Das Ergebnis ist der (komplexe) Detektorwert r, woraus als reelle Entscheidereingangsgröße der Betrag y = | r | gebildet wird.
- Ist der Entscheidungswert y > G, so wird als Schätzwert m0 ausgegeben, andernfalls m1. Somit ergibt sich für die Fehlerwahrscheinlichkeit bei gleichwahrscheinlichen Symbolen:
- \[p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {1}/{ 2} \cdot \int_{0}^{G} p_{y|m} (\eta | m_0) \,{\rm d} \eta + {1}/{ 2} \cdot \int_{G}^{\infty} p_{y|m} (\eta | m_1) \,{\rm d} \eta \hspace{0.05cm}.\]
- Aufgrund der Rice–WDF py|m(η|m0) und der Rayleigh–WDF py|m(η|m1) kann allerdings diese Wahrscheinlichkeit nur numerisch berechnet werden. Die optimale Entscheidungsgrenze G ist vorher als die Lösung der folgenden Gleichung zu bestimmen:
- \[p_{y|m} (G | m_0) = p_{y|m} (G | m_1) \hspace{0.05cm}.\]
Die Grafik zeigt das Ergebnis dieser Gleichung für σn = 0.5 und C = 2, wobei die (rote) Rice–WDF durch eine Gauß–WDF mit Mittelwert C und Streuung σn approximiert ist. Man erkennt daraus:
- Die optimale Entscheidungsgrenze (hier: G ≈ 1.25) ergibt sich aus dem Schnittpunkt der beiden Kurven.
- Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit pS ist die Summe der beiden farblich markierten Flächen. Im Beispiel ergibt sich pS ≈ 5%.
Die Fehlerwahrscheinlichkeit für andere Werte von C und σn sowie die optimale Entscheidergrenze G können Sie mit dem Berechnungstool Nichtkohärentes On–Off–Keying bestimmen.
Nichtkohärente Demodulation von binärer FSK (1)
Wie schon im Kapitel 4.4 gezeigt, lässt sich binäres Frequency Shift Keying (BFSK) im äquivalenten Tiefpassbereich durch die Basisfunktionen
\[\xi_1(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sqrt{1/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}+{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T\hspace{0.05cm},\] \[ \xi_2(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sqrt{1/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T \hspace{0.05cm}\]
darstellen. Um Orthogonalität zwischen diesen beiden komplexen Basisfunktionen zu erreichen, muss der Modulationsindex h ganzzahlig sein:
\[< \hspace{-0.05cm}\xi_1(t) \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} \xi_2(t) \hspace{-0.05cm}> \hspace{0.2cm}= 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} h = 2 \cdot \Delta f_{\rm A} \cdot T\hspace{0.05cm}= 1, 2, 3, ...\]
Die Grafik zeigt die Struktur zur nichtkohärenten orthogonalen Demodulation der binären FSK.
Im rauschfreien Fall ⇒ n(t) = 0 gilt für die beiden Ausgänge der Korrelatoren:
\[r_1 = \hspace{0.2cm} < \hspace{-0.05cm}r(t) \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} \xi_1(t) \hspace{-0.05cm}> \hspace{0.2cm}= 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm falls}\hspace{0.15cm} m = m_1\hspace{0.05cm},\] \[ r_2 = \hspace{0.2cm} < \hspace{-0.05cm}r(t) \hspace{0.2cm} \cdot \hspace{0.2cm} \xi_2(t) \hspace{-0.05cm}> \hspace{0.2cm}= 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm falls}\hspace{0.15cm} m = m_0\hspace{0.05cm}.\]
Nach jeweiliger Betragsbildung ⇒ y1 = |r1|, y2 = |r2| ist dann folgende Entscheidungsregel anwendbar:
\[\hat{m} = \left\{ \begin{array}{c} m_0 \\ m_1 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm falls}\hspace{0.15cm} y_1 > y_2 \hspace{0.05cm}, \\ {\rm falls}\hspace{0.15cm} y_1 < y_2 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}\]
Zur einfacheren Realisierung des Entscheiders kann auch die Differenz y1 – y2 mit der Entscheidergrenze G = 0 ausgewertet werden.
Im Folgenden wird die Fehlerwahrscheinlichkeit unter der Annahme berechnet, dass m = m0 gesendet wurde. Unter der weiteren Voraussetzung gleichwahrscheinlicher binärer Nachrichten m0 und m1 ist die absolute Fehlerwahrscheinlichkeit genau so groß:
\[{\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Pr}({\cal{E}}\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}m_0) \hspace{0.05cm}.\]
Mit m = m0 ergeben sich für die komplexen Korrelationsausgangswerte ri und deren Beträge yi:
\[r_1 \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sqrt{E} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\phi} + n_1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}y_1 = |r_1|\hspace{0.15cm}{\rm ist}\hspace{0.15cm}{\rm riceverteilt} \hspace{0.05cm},\] \[ r_2 \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} n_2\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}y_2 = |r_2|\hspace{0.15cm}{\rm ist}\hspace{0.15cm}{\rm rayleighverteilt} \hspace{0.05cm}.\]
Hierbei steht E für die Symbolenergie ES und die Bitenergie EB gleichermaßen (wegen M = 2), und n1 und n2 sind unkorrelierte komplexe Rauschgrößen mit Mittelwert 0 und Varianz 2σn2.
Nichtkohärente Demodulation von binärer FSK (2)
Somit lautet die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
\[p_{y_1,\hspace{0.03cm} y_2 \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1, \eta_2 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) = p_{y_1 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) \cdot p_{y_2 \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_2 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) \hspace{0.05cm},\]
\[p_{y_1 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) = {\eta_1}/{\sigma_n^2} \cdot {\rm e }^{ - ({\eta_1^2 + E})/({2 \sigma_n^2}) }\cdot {\rm I }_0 \left [{\eta_1 \cdot \sqrt{E}}/{ \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.05cm},\]
\[p_{y_2 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_2 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) = {\eta_2}/{\sigma_n^2} \cdot {\rm e }^{ - \eta_2^2 /({2 \sigma_n^2}) } \hspace{0.05cm}.\]
Die Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich allgemein wie folgt:
\[{\rm Pr}({\cal{E}}) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \int_{0}^{\infty} \int_{\eta_1}^{\infty} p_{y_1,\hspace{0.03cm} y_2 \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1, \eta_2 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) \,\,{\rm d} \eta_2\,\,{\rm d} \eta_1 =\]
- \[ \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm}\int_{0}^{\infty} p_{y_1 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) \cdot \int_{\eta_1}^{\infty} p_{y_2 \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_2 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0)\,\,{\rm d} \eta_2\,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm}.\]
Nach einigen mathematischen Umformungen erhält man für die nichtkohärente Demodulation der binären FSK das überraschend einfache Ergebnis (Herleitung auf der nächsten Seite):
\[p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{-E_{\rm S}/(2 N_0)} \hspace{0.05cm}.\]
Zum Vergleich sei nochmals das Ergebnis für die kohärente Demodulation angegeben:
\[p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Q}(\sqrt{ E_{\rm S}/N_0}) \hspace{0.05cm}.\]
Die Grafik stellt die Fehlerwahrscheinlichkeitskurven beider Demodulationsverfahren in Abhängigkeit des AWGN–Qotienten ES/N0 vergleichend gegenüber.
Man erkennt:
- Die nichtkohärente FSK benötigt gegenüber der kohärenten FSK bei pS = 10–5 ein um 0.8 dB größeres ES/N0. Bei pS = 10–3 beträgt der Abstand sogar 1.3 dB.
- Dagegen beträgt der Abstand zwischen der kohärenten binären FSK von der kohärenten BPSK unabhängig von der Fehlerwahrscheinlichkeit gleich 3 dB.
Herleitung: Fehlerwahrscheinlichkeit von nichtkohärenter BFSK
Das auf der letzten Seite vorweg genommene Ergebnis soll nun in einigen Rechenschritten hergeleitet werden. Wir gehen dabei von den folgenden Gleichungen aus:
\[{\rm Pr}({\cal{E}}) = \int_{0}^{\infty} p_{y_1 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) \cdot \int_{\eta_1}^{\infty} p_{y_2 \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_2 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0)\,\,{\rm d} \eta_2\,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm},\]
\[p_{y_1 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) = {\eta_1}/{\sigma_n^2} \cdot {\rm e }^{ - ({\eta_1^2 + E})/({2 \sigma_n^2}) }\cdot {\rm I }_0 \left [{\eta_1 \cdot \sqrt{E}}/{ \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.05cm},\]
\[p_{y_2 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_2 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) = {\eta_2}/{\sigma_n^2} \cdot {\rm e }^{ - \eta_2^2 /({2 \sigma_n^2}) } \hspace{0.05cm}.\]
(1) Das innere Integral gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die rayleighverteilte Zufallsgröße η2 größer ist als η1 – siehe Musterlösung zur Aufgabe Z4.17:
\[\int_{\eta_1}^{\infty} p_{y_2 \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_2 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0)\,\,{\rm d} \eta_2 = {\rm e }^{ - \eta_1^2 /({2 \sigma_n^2}) }\]
\[\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}({\cal{E}}) = \int_{0}^{\infty}{\eta_1}/{\sigma_n^2} \cdot {\rm e }^{ - ({2\eta_1^2 + E})/({2 \sigma_n^2}) }\cdot {\rm I }_0 \left [ {\eta_1 \cdot \sqrt{E}}/{ \sigma_n^2}\right ]\,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm}.\]
(2) Mit den (willkürlichen) Substitutionen C02 = E/4 und σ02 = σn2/2 erhält man daraus:
\[{\rm Pr}({\cal{E}}) \hspace{0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \int_{0}^{\infty} \frac{\eta_1}{2 \cdot \sigma_0^2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{2 \eta_1^2 + 4 C_0^2}{4 \sigma_0^2}\right ] \cdot {\rm I }_0 \left [ \frac{\eta_1 \cdot 2C_0}{ 2 \sigma_0^2}\right ]\,\,{\rm d} \eta_1 =\]
- \[ \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \int_{0}^{\infty} \frac{\eta_1}{2 \cdot \sigma_0^2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta_1^2 + 2 C_0^2}{2 \sigma_0^2}\right ] \cdot {\rm I }_0 \left [ \frac{\eta_1 \cdot C_0}{ \sigma_0^2}\right ]\,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm}.\]
(3) Durch Verschieben von Anteilen vor das Integral gelingt es, dass der Integrand wieder eine Riceverteilung beschreibt:
\[{\rm Pr}({\cal{E}}) = {1}/{2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ C_0^2}{2 \sigma_0^2}\right ] \cdot \int\limits_{0}^{\infty} \frac{\eta_1}{ \sigma_0^2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta_1^2 + C_0^2}{2 \sigma_0^2}\right ] \cdot {\rm I }_0 \left [ \frac{\eta_1 \cdot C_0}{ \sigma_0^2}\right ]\,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm}.\]
(4) Der Integrand beschreibt nun die Rice–WDF. Das Integral über das gesamte Definitionsgebiet von 0 bis +∞ ergibt wie bei jeder WDF den Wert 1, so dass gilt:
\[{\rm Pr}({\cal{E}}) = {1}/{2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ C_0^2}{2 \sigma_0^2}\right ]\hspace{0.05cm}.\]
(5) Mit C02 = E/4, σ02 = σn2/2 und der allgemein gültigen Beziehung σn2 = N0/2 erhält man:
\[{\rm Pr}({\cal{E}}) = {1}/{2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ C_0^2}{2 \sigma_0^2}\right ] = {1}/{2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ E_{\rm S}/4}{N_{\rm 0}/2}\right ] \]
\[p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{-E_{\rm S}/(2 N_0)}\hspace{0.05cm}.\] q.e.d.
ES gibt hierbei mittlere Signalenergie pro Symbol an, die bei FSK gleich der Nornierungsenergie E ist.
Nichtkohärente Demodulation von mehrstufiger FSK (1)
Wir betrachten nun die Nachrichtenmenge {m0, m1, ..., mM–1} und bezeichnen M als Stufenzahl.
- Voraussetzung für die Anwendung des Modulationsverfahrens „Frequency Shift Keying” und zugleich eines nichtkohärenten Demodulators ist ein ganzzahliger Modulationsindex h.
- In diesem Fall ist die M–stufige FSK orthogonal und es ergibt sich eine Signalraumkonstellation, wie in der oberen Grafik für den Sonderfall M = 3 dargestellt.
Der nichtkohärente Demodulator ist nachfolgend skizziert. Gegenüber der Empfängerstruktur für binäre FSK unterscheidet sich dieser Empfänger lediglich durch M Zweige anstelle von nur zweien, welche die Vergleichswerte y1, y2, ..., yM liefern.
Zur Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit gehen wir wieder von der Annahme aus, dass m0 gesendet wurde. Das bedeutet, dass die Entscheidung richtig ist, wenn y1 der größte Detektionsausgangswert ist:
\[{\rm Pr}({\cal{C}}) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Pr} \left [ (y_2 < y_1) \cap (y_3 < y_1) \cap ... \cap (y_{M} < y_1) \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m = m_0\right ] = \]
- \[ \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Pr} \left [ \hspace{0.1cm} \bigcap\limits_{k = 2}^M (y_k < y_1) \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m = m_0\right ] \hspace{0.01cm}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}({\cal{E}}) = 1 - {\rm Pr}({\cal{C}})\hspace{0.05cm}.\]
Die Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.
Nichtkohärente Demodulation von mehrstufiger FSK (2)
Bitte beachten Sie: Es gibt gewisse Analogien zur Herleitung der BFSK–Fehlerwahrscheinlichkeit.
(1) Mit der bedingten Wahrscheinlichkeitsdichte py1|m(η1|m0) erhält man:
\[{\rm Pr}({\cal{C}}) = \int_{0}^{\infty} {\rm Pr} \left [ \hspace{0.1cm} \bigcap\limits_{k = 2}^M (y_k < y_1) \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}y_1 = \eta_1, m = m_0\right ] \cdot p_{y_1 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) \,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm}.\]
(2) Die Entscheidungswerte y2, y3, ... , yM sind bei gegebenem y1 statistisch unabhängig. Deshalb gilt:
\[{\rm Pr}({\cal{C}}) = \int_{0}^{\infty} \left \{ {\rm Pr} \left [ (y_2 < y_1) \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}y_1 = \eta_1, m = m_0\right ] \right \}^{M-1} \cdot p_{y_1 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) \,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm}.\]
(3) Der ausgewählte Wert y2 konditioniert auf m0 besitzt eine Rayleighverteilung mit Parameter σn2:
\[{\rm Pr} \left [ (y_2 < y_1) \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}y_1 = \eta_1, m = m_0\right ] \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \int_{0}^{\eta_1} p_{y_2 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_2 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) \,\,{\rm d} \eta_2= \]
- \[ \hspace{0.05cm} = \hspace{0.1cm} 1 - {\rm exp } \left [ - {\eta_1^2 }/({2 \sigma_n^2})\right ] = 1 - a \hspace{0.2cm}{\rm(Abk\ddot{u}rzung)} \hspace{0.05cm}.\]
(4) Gesucht ist nun der Ausdruck (1 – a)M–1, für den gilt:
\[ (1-a)^{M-1} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sum_{i = 0}^{M-1} (-1)^i \cdot {M-1 \choose i } \cdot (-1)^i \cdot a^i = \]
- \[ \hspace{0.15cm} = \hspace{-0.1cm} \sum_{i = 0}^{M-1} (-1)^i \cdot {M-1 \choose i } \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{i \cdot \eta_1^2 }{2 \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.05cm}.\]
(5) Weiterhin besitzt y1 konditioniert auf m = m0 eine Riceverteilung. Die Wahrscheinlichkeit für eine korrekte Entscheidung lässt sich somit in folgende Form bringen:
\[{\rm Pr}({\cal{C}}) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sum_{i = 0}^{M-1} (-1)^i \cdot {M-1 \choose i } \cdot \]
- \[ \hspace{-0.1cm} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{0}^{\infty} {\rm exp } \left [ - \frac{i \cdot \eta_1^2 }{2 \sigma_n^2}\right ] \cdot \frac{\eta_1}{ \sigma_n^2}\cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta_1^2 + E_{\rm S}}{2 \sigma_n^2}\right ] \cdot {\rm I }_0 \left [ \frac{\eta_1 \cdot \sqrt{E_{\rm S}}}{ \sigma_n^2}\right ] \,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm}.\]
(6) Durch Substitutionen gelingt es, den Integranden entsprechend der Riceverteilung zu gestalten. Da sich jede Wahrscheinlichkeitsdichte zu 1 integriert, erhält man:
\[{\rm Pr}({\cal{C}}) = \sum_{i = 0}^{M-1} (-1)^i \cdot {M-1 \choose i } \cdot \frac{1}{i+1} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{i \cdot E_{\rm S} } {(i+1) \cdot N_0}\right ] \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} E_{\rm S} = E_{\rm B} \cdot {\rm log_2}(M)\hspace{0.05cm}.\]
(7) Der Sonderfall M = 2 führt zum genau gleichen Ergebnis, wie für die binäre FSK berechnet:
\[{\rm Pr}({\cal{C}}) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} (-1)^0 \cdot {2-1 \choose 0 } \cdot \frac{1}{0+1} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{0 \cdot E_{\rm S} } {(i+1) \cdot N_0}\right ] + \hspace{-0.1cm}\]
- \[ + \hspace{0.1cm} (-1)^1 \cdot {2-1 \choose 1 } \cdot \frac{1}{1+1} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{1 \cdot E_{\rm S} } {(i+1) \cdot N_0}\right ]= \]
- \[ \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} 1 - {1}/{2} \cdot {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_0)} \hspace{1.8cm} \Rightarrow \hspace{1.8cm} {\rm Pr}({\cal{E}}) = {1}/{2} \cdot {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_0)} \hspace{0.05cm}.\]
Aufgaben zum Kapitel
Zusatzaufgaben:4.17 Rayleigh- und Riceverteilung
A4.18 Nichtkohärente BPSK–Demodulationg
Zusatzaufgaben:4.18 FSK kohärent/nichtkohärent
A4.19 Orthogonale mehrstufige FSK
