Frequenzgang und Impulsantwort

Aufruf des Applets in neuem Fenster

Programmbeschreibung

Dargestellt werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale ⇒ „Impulse” $x(t)$ und die dazugehörigen Spektralfunktionen $X(f)$, nämlich

Gaußimpuls (englisch: Gaussian pulse),
Rechteckimpuls (englisch: Rectangular pulse),
Dreieckimpuls (englisch: Triangular pulse),
Trapezimpuls (englisch: Trapezoidal pulse),
Cosinus–Rolloff–Impuls (englisch: Cosine-rolloff pulse).

Das aufzurufende Applet verwendet die englischen Begriffe im Gegensatz zu dieser deutschen Beschreibung. Die englische Beschreibung finden Sie unter Englische Version: Frequency response & Pulse response.

Weiter ist zu beachten:

Die Funktionen $x(t)$ bzw. $X(f)$ werden für bis zu zwei Parametersätzen in jeweils einem Diagramm dargestellt.
Die roten Kurven und Zahlenangaben gelten für den linken Parametersatz, die blauen für den rechten Parametersatz.
Die Abszissen $t$ (Zeit) und $f$ (Frequenz) sowie die Ordinaten $x(t)$ (Signalwerte) bzw. $X(f)$ (Spektralwerte) sind jeweils normiert.

$\text{Beispiel:}$ Stellt man einen Rechteckimpuls mit Amplitude $A_1 = 1$ und äquivalenter Impulsdauer $\Delta t_1 = 1$ ein, so ist $x_1(t)$ im Bereich $-0.5 < t < +0.5$ gleich $1$ und außerhalb dieses Bereichs gleich $0$. Die Spektralfunktion $X_1(f)$ verläuft si–förmig mit $X_1(f= 0) = 1$ und der ersten Nullstelle bei $f=1$.

Soll mit dieser Einstellung ein Rechteckimpuls mit $A = K = 3 \ \rm V$ und $\Delta t = T = 2 \ \rm ms$ nachgebildet werden, dann sind alle Signalwerte mit $K = 3 \ \rm V$ und alle Spektralwerte mit $K \cdot T = 0.006 \ \rm V/Hz$ zu multiplizieren. Der maximale Spektralwert ist dann $X(f= 0) = 0.006 \ \rm V/Hz$ und die erste Nullstelle liegt bei $f=1/T = 0.5 \ \rm kHz$.

Theoretischer Hintergrund

Frequenzgang $H(f)$ und Impulsantwort $h(t)$

Der Frequenzgang (oder auch die Übertragungsfunktion eines linearen zeitinvarianten Übertragungssystems $H(f)$ gibt das Verhältnis zwischen Zusammenhang zwischen Zeitfunktion $x(t)$ und dem dem Eingangsspektrum $X(f)$ an:

$$H(f) = \frac{Y(f)}{X(f)}.$$

Ist das Übertragungsverhalten bei tiefen Frequenzen besser als bei höheren, so spricht man von einem Tiefpass (englisch: Low-pass Filter).
Die Eigenschaften von $H(f)$ werden im Zeitbereich durch die Impulsantwort $h(t)$ ausgedrückt. Entsprechend dem zweiten Fourierintegral gilt:

$$h(t)={\rm IFT} [H(f)] = \int_{-\infty}^{+\infty}H(f)\cdot {\rm e}^{+{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}f\hspace{1cm} {\rm IFT}\hspace{-0.1cm}: \rm Inverse \ Fouriertransformation.$$

Die Gegenrichtung wird durch das erste Fourierintegral beschrieben:

$$H(f)={\rm FT} [h(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t\hspace{1cm} \rm FT\hspace{-0.1cm}: \ Fouriertransformation.$$

In allen Beispielen verwenden wir reelle und gerade Funktionen. Somit gilt:

$$h(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}H(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ H(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t .$$

$Bei einem Vierpol ⇒ $X(f)$ und $Y(f)$ haben gleiche Einheiten ist $Y(f)$ dimensionslos. Die Einheit der Impulsantwort ist $\rm 1/s$. Es gilt zwar $\rm 1/s = 1 \ Hz$, aber die Einheit &Hertz” ist in diesem Zusammenhang unüblich. *Der Zusammenhang zwischen diesem Modul „Frequenzgang & Impulsantwort” und dem ähnlich aufgebauten Applet [[Applets:Impulse_und_Spektren]] basiert auf dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz|Vertauschungssatz]]. *Alle Zeiten sind auf eine Normierungszeit $T$ normiert und alle Frequenzen auf $1/T \Rightarrow$ die Spektralwerte $X(f)$ müssen noch mit der Normierungszeit $T$ multipliziert werden. <div class="greybox"> $\text{Beispiel:}$ Stellt man einen Rechteckimpuls mit Amplitude $A_1 = 1$ und äquivalenter Impulsdauer $\Delta t_1 = 1$ ein, so ist $x_1(t)$ im Bereich $-0.5 < t < +0.5$ gleich $1$ und außerhalb dieses Bereichs gleich $0$. Die Spektralfunktion $X_1(f)$ verläuft si–förmig mit $X_1(f= 0) = 1$ und der ersten Nullstelle bei $f=1$. Soll mit dieser Einstellung ein Rechteckimpuls mit $A = K = 3 \ \rm V$ und $\Delta t = T = 2 \ \rm ms$ nachgebildet werden, dann sind alle Signalwerte mit $K = 3 \ \rm V$ und alle Spektralwerte mit $K \cdot T = 0.006 \ \rm V/Hz$ zu multiplizieren. Der maximale Spektralwert ist dann $X(f= 0) = 0.006 \ \rm V/Hz$ und die ersteNullstelle liegt bei $f=1/T = 0.5 \ \rm kHz$. <div style="clear:both;"> </div> </div> ==='"`UNIQ--h-4--QINU`"'Gauß–Tiefpass $\Rightarrow$ Gaussian Low–pass === *Die Zeitfunktion des Gaußimpulses mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet: :'"`UNIQ-MathJax6-QINU`"' *Die äquivalente Zeitdauer $\Delta t$ ergibt sich aus dem flächengleichen Rechteck. *Der Wert bei $t = \Delta t/2$ ist um den Faktor $0.456$ kleiner als der Wert bei $t=0$. *Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation: :'"`UNIQ-MathJax7-QINU`"' *Je kleiner die äquivalente Zeitdauer $\Delta t$ ist, um so breiter und niedriger ist das Spektrum ⇒ [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer]]. *Sowohl $x(t)$ als auch $X(f)$ sind zu keinem $f$- bzw. $t$-Wert exakt gleich Null. *Für praktische Anwendungen kann der Gaußimpuls jedoch in Zeit und Frequenz als begrenzt angenommen werden. Zum Beispiel ist $x(t)$ bereits bei $t=1.5 \Delta t$ auf weniger als $0.1\% $ des Maximums abgefallen. ==='"`UNIQ--h-5--QINU`"'Idealer (rechteckförmiger) Tiefpass $\Rightarrow$ Rectangular Low–pass === *Die Zeitfunktion des Rechteckimpulses mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet: :'"`UNIQ-MathJax8-QINU`"' *Der $\pm \Delta t/2$–Wert liegt mittig zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert. *Für die Spektralfunktion erhält man entsprechend den Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation (1. Fourierintegral): :'"`UNIQ-MathJax9-QINU`"' *Der Spektralwert bei $f=0$ ist gleich der Rechteckfläche der Zeitfunktion. *Die Spektralfunktion besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen $1/\Delta t$. *Das Integral über der Spektralfunktion $X(f)$ ist gleich dem Signalwert zum Zeitpunkt $t=0$, also der Impulsamplitude $K$. ==='"`UNIQ--h-6--QINU`"'Dreieck–Tiefpass $\Rightarrow$ Triangular Low–pass=== *Die Zeitfunktion des Dreieckimpulses mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet: :'"`UNIQ-MathJax10-QINU`"' *Die absolute Zeitdauer ist $2 \cdot \Delta t$; diese ist doppelt so groß als die des Rechtecks. *Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation: :'"`UNIQ-MathJax11-QINU`"' *Obige Zeitfunktion ist gleich der Faltung zweier Rechteckimpulse, jeweils mit Breite $\Delta t$ *Daraus folgt: $X(f)$ beinhaltet anstelle der ${\rm si}$-Funktion die ${\rm si}^2$-Funktion. *$X(f)$ weist somit ebenfalls Nullstellen im äquidistanten Abständen $1/\Delta f$ auf. *Der asymptotische Abfall von $X(f)$ erfolgt hier mit $1/f^2$, während zum Vergleich der Rechteckimpuls mit $1/f$ abfällt. ==='"`UNIQ--h-7--QINU`"'Trapez–Tiefpass $\Rightarrow$ Trapezoidal Low–pass === Die Zeitfunktion des Trapezimpulses mit der Höhe $K$ und den Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ lautet: :'"`UNIQ-MathJax12-QINU`"' *Für die äquivalente Impulsdauer (flächengleiches Rechteck) gilt: $\Delta t = t_1+t_2$. *Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit: :'"`UNIQ-MathJax13-QINU`"' *Der Sonderfall $r=0$ entspricht dem Rechteckimpuls der Sonderfall $r=1$ dem Dreieckimpuls. *Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation: :'"`UNIQ-MathJax14-QINU`"' *Der asymptotische Abfall von $X(f)$ liegt zwischen $1/f$ (für Rechteck, $r=0$) und $1/f^2$ (für Dreieck, $r=1$). ==='"`UNIQ--h-8--QINU`"'Cosinus-Rolloff-Tiefpass $\Rightarrow$ Cosine-rolloff Low–pass === Die Zeitfunktion des Cosinus-Rolloff-Impulses mit der Höhe $K$ und den Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ lautet: :'"`UNIQ-MathJax15-QINU`"' *Für die äquivalente Impulsdauer (flächengleiches Rechteck) gilt: $\Delta t = t_1+t_2$. *Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit: :'"`UNIQ-MathJax16-QINU`"' *Der Sonderfall $r=0$ entspricht dem Rechteckimpuls der Sonderfall $r=1$ dem Cosinus-Quadrat-Impuls . *Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation: :'"`UNIQ-MathJax17-QINU`"' *Je größer der Rolloff-Faktor $r$ ist, desto schneller nimmt $X(f)$ asymptotisch mit $f$ ab. ==='"`UNIQ--h-9--QINU`"'Cosinus-Quadrat-Tiefpass === *Dies ist ein Sonderfall des Cosinus-Rolloff-Impulses und ergibt sich für $r=1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}t_1=0, t_2= \Delta t$: :'"`UNIQ-MathJax18-QINU`"' *Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation: :'"`UNIQ-MathJax19-QINU`"' *Wegen der letzten ${\rm si}$-Funktion ist $X(f)=0$ für alle Vielfachen von $F=1/\Delta t$. Die äquidistanten Nulldurchgänge des Cos-Rolloff-Impulses bleiben erhalten. *Aufgrund des Klammerausdrucks weist $X(f)$ nun weitere Nulldurchgänge bei $f=\pm1.5 F$, $\pm2.5 F$, $\pm3.5 F$, ... auf. *Für die Frequenz $f=\pm F/2$ erhält man die Spektralwerte $K\cdot \Delta t/2$. *Der asymptotische Abfall von $X(f)$ verläuft in diesem Sonderfall mit $1/f^3$. =='"`UNIQ--h-10--QINU`"'Vorschlag für die Versuchsdurchführung== <br> „Rot” bezieht sich stets auf den ersten Parametersatz ⇒ $x_1(t) \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_1(f)$ und „Blau” den zweiten ⇒ $x_2(t) \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_2(f)$. <div class="bluebox"> '''(1)''' Vergleichen Sie den '''roten Gauß–Tiefpass''' $(K_1 = 1, \Delta f_1 = 1)$ mit dem '''blauen Rechteck–Tiefpass''' $(K_1 = 1, \Delta f_1 = 1)$ ⇒ Voreinstellung. und beantworten Sie folgende Fragen:<br> '''(a)''' Welche Signale $y(t)$ treten am Ausgang der Tiefpässe auf, wenn am Eingang das Signal $x(t) = 2 \cdot \cos (2\pi f_0 t -\varphi_0)$ mit $f_0 = 0.5$ anliegt? '''(b)''' Welche Unterschiede ergeben sich $f_0 = 0.5 \pm f_\varepsilon$ mit $f_\varepsilon \ne 0, \ f_\varepsilon \to 0$ bei beiden Tiefpässen? <div style="clear:both;"> </div> </div> '''(a)''' In beiden Fällen gilt $y(t) = A \cdot \cos (2\pi f_0 t -\varphi_0)$ mit $A = 2 \cdot H(f = f_0) \ \Rightarrow \ A_1 = 0.912, A_2 = 1.000$. Die Phase $\varphi_0$ bleibt erhalten. '''(b)''' Beim Gauß–Tiefpass gilt weiterhin $ A_1 = 0.912$. Beim Rechteck–Tiefpass ist $A_2 = 0$ für $f_0 = 0.5000\text{...}001$ und $A_2 = 2$ für $f_0 = 0.4999\text{...}999$. <div class="bluebox"> '''(2)''' Lassen Sie die Einstellungen unverändert. Welcher Tiefpass kann das [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Zeitbereich|erste Nyquistkriterium]] oder das [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Zweites_Nyquistkriterium|zweite Nyquistkriterium]] erfüllen, wenn $H(f)$ den Gesamtfrequenzgang von Sender, Kanal und Empfangsfilter bezeichnet. <div style="clear:both;"> </div> </div> *Um das erste Nyquistkriterium zu erfüllen, muss die Impulsantwort $h(t)$ äquidistante Nulldurchgänge bei Vielfachen der (normierten) Zeit $t = 1, 2$, ... aufweisen. Die Impulsantwort $h(t) = {\rm si}(\pi f/\Delta f)$ des Rechteck–Tiefpasses erfüllt dieses Kriterium mit $\Delta f = 1$. Dagegen ist beim Gauß–Tiefpass das erste Nyquistkriterium nie erfüllt und es kommt immer zu [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|Impulsinterferenzen]]. *Das zweite Nyquistkriterium erfüllt der Rechteck–Tiefpass dagegen nicht. $h(t)$[[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer]]. Je größer die äquivalente Impulsdauer $\Delta t_2$ ist, um so höher und schmäler ist die Spektralfunktion $X_2(f)$. *Da bei jeder Einstellung von $\Delta t_2$ die Zeitsignalwerte bei $t=0$ von $x_1(t)$ und $x_2(t)$ sind auch die Integrale über $X_1(f)$ und $X_2(f)$ identisch. <div class="bluebox"> '''(3)''' Vergleichen Sie den '''roten Trapez–Tiefpass''' $(K_1 = 1, \Delta f_1 = 1, r_1 = 0.5)$ mit dem '''blauen Rechteck–Tiefpass''' $(K_1 = 1, \Delta f_1 = 1)$ und variieren Sie anschließend $r_1$ zwischen $0$ und $1$. '''(a)''' Welche Signale $y(t)$ treten am Ausgang der Tiefpässe auf, wenn am Eingang das Signal $x(t) = 2 \cdot \cos (2\pi f_0 t -\varphi_0)$ mit $f_0 = 0.5$ anliegt? '''(b)''' Welche Unterschiede ergeben sich $f_0 = 0.5 \pm f_\varepsilon$ mit $f_\varepsilon \ne 0, \ f_\varepsilon \to 0$ bei beiden Tiefpässen? <div style="clear:both;"> </div> </div> <div class="bluebox"> '''(3)''' Vergleichen Sie den '''roten Rechteckimpuls''' $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$ mit dem '''blauen Rechteckimpuls''' $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 0.5)$ und variieren Sie anschließend $\Delta t_2$ zwischen $0.05$ und $2$. Interpretieren Sie die dargestellten Graphen und extrapolieren Sie das Ergebnis. <div style="clear:both;"> </div> </div> *Mit $\Delta t_2 = 0.5$ ist $X_2(f = 0) = X_1(f = 0) = 1$. Das blaue Spektrum ist aber nun doppelt so breit, das heißt, dass sie erste Nullstelle von $X_2(f)$ erst bei $f =2$ auftritt, während $X_1(f)$ die $x$–Achse schon bei $f =1$ schneidet. *Verkleinert man $\Delta t_2$ immer mehr, so wird $X_2(f)$ immer niedriger und breiter. Bei $\Delta t_2 = 0.05$ ist $X_2(f = 0)= 0.1$ und es ergibt sich ein sehr flacher Verlauf. Beispielsweise ist $X_2(f = \pm 3)= 0.096$. *Würde man $\Delta t_2 = \varepsilon$ wählen (was bei dem Programm nicht möglich ist), so wäre im Grenzübergang $\varepsilon \to 0$ das Spektrum $X_2(f)=2 \cdot \varepsilon$ (für $A=2$) bzw. $X_2(f)=\varepsilon$ (für $A=1$) nahezu konstant, aber sehr klein. *Erhöht man dafür die Amplitude auf $A=1/\varepsilon$, so ergibt sich die konstante Spektralfunktion $X_2(f) = 1$ der [[Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals#Diracfunktion_im_Frequenzbereich|Diracfunktion]] $\delta(t)$ (im Zeitbereich). *Das bedeutet, dass $\delta(t)$ durch ein Rechteck der Breite $\Delta t = \varepsilon \to 0$ und der Höhe $A = 1/\varepsilon \to \infty$ approximiert werden kann. Die Impulsfläche ist dann Eins, was dem Gewicht der Diracfunktion entspricht: $x(t) = 1 \cdot \delta (t)$. <div class="bluebox"> '''(4)''' Vergleichen Sie den '''roten Rechteckimpuls''' $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$ mit dem '''blauen Dreieckimpuls''' $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1)$ und interpretieren Sie deren Spektalfunktionen. <div style="clear:both;"> </div> </div> *Das (normierte) Spektrum des Rechteckimpulses $x_1(t)$ mit den (normierte) Parametern $A_1 = 1$ und $\Delta t_1 = 1$ lautet $X_1(f)= {\rm si}(\pi\cdot f)$. * Faltet man den Rechteckimpuls $x_1(t)$ mit sich selbst, so kommt man zum Dreieckimpuls $x_2(t) = x_1(t) \star x_1(t)$. Nach dem [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Zeitbereich|Faltungssatz]] gilt dann $X_2(f) = X_1(f) \cdot X_1(f) = X_1(f)^2 $. *Durch das Quadrieren der $\rm si$–förmigen Spektralfunktion $X_1(f)$ bleiben die Nullstellen in $X_2(f)$ erhalten. Es gilt aber nun $X_2(f) \ge 0$. <div class="bluebox"> '''(5)''' Vergleichen Sie den '''roten Trapezimpuls''' $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, r_1 = 0.5)$ mit dem '''blauen Dreieckimpuls''' $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1)$ und und variieren Sie $r_1$ zwischen $0$ und $1$. Interpretieren Sie die Spektalfunktion $X_1(f)$. <div style="clear:both;"> </div> </div> *Der Trapezimpuls mit dem Rolloff-Faktor $r= 0$ ist identsisch mit dem Rechteckimpuls und das „normierte Spektrum” lautet: $X_1(f)= {\rm si}(\pi\cdot f)$. *Der Trapezimpuls mit dem Rolloff-Faktor $r= 1$ ist identsisch mit dem Dreieckimpuls und das „normierte Spektrum” lautet: $X_1(f)= {\rm si}^2(\pi\cdot f)$. *In beiden Fällen besitzt $X_1(f)$ äquidistante Nulldurchgänge bei $\pm 1$, $\pm 2$, ... Sonst gibt es keine Nulldurchgänge. Mit $0 < r_1 < 1$ gibt es dagegen zusätzliche Nulldurchgänge, deren Lagen von $r_1$ abhängen. <div class="bluebox"> '''(6)''' Vergleichen Sie den '''roten Trapezimpuls''' $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, r_1 = 0.5)$ mit dem '''blauen Cosinus-Rolloff-Impuls''' $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1.0, r_1 = 0.5)$ und und variieren Sie $r_2$ zwischen $0$ und $1$. Interpretieren Sie die Spektalfunktion $X_2(f)$ für $r_2 = 0.7$. <div style="clear:both;"> </div> </div> *Der Vergleich von Trapezimpuls $x_1(t)$ und Cosinus-Rolloff-Impuls $x_2(t)$ bei gleichem Rolloff-Faktor $r= 0.5$ zeigt, dass $X_2(f)$ für $f > 1$ größere betragsmäßige Anteile besitzt als ist $X_1(f)$. *Bei gleichem Rolloff-Faktor $r_1 = r_2= 0.5$ verläuft der Flankenabfall des Cosinus-Rolloff-Impulses $x_2(t)$ um die Frequenz $f = 0.5$ steiler als der Flankenabfall des Trapezimpulses $x_2(t)$. Mit $r_1 = 0.5$ und $r_2 = 0.7$ gilt $x_1(t) \approx x_2(t)$ und damit auch $X_1(f) \approx X_2(f)$. <div class="bluebox"> '''(7)''' Vergleichen Sie den '''roten Trapezimpuls''' $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, r_1 = 1)$ mit dem '''blauen Cosinus-Rolloff-Impuls''' $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1.0, r_1 = 1)$. Interpretieren Sie die Funktionen $x_1(t)$ und $X_1(f)$. <div style="clear:both;"> </div> </div> *Es handelt sich bei $x_1(t) = \cos^2(|t|\cdot \pi/2) \ \ \text{für} \ |t| \le 1$ um den [[Applets:Impulse_und_Spektren#Cosinus-Quadrat-Impuls|Cosinus-Quadrat-Impuls]]. *Wegen $\Delta t = 1$ besitzt $X_1(f)$ Nulldurchgänge bei $\pm 1$, $\pm 2$, ... *Weitere Nulldurchgänge gibt es bei $f=\pm 1.5$, $\pm 2.5$, $\pm 3.5$, ... , nicht jedoch bei $\pm 0.5$. *Für die Frequenz $f=\pm 0.5$ erhält man die Spektralwerte $0.5$. *Der asymptotische Abfall von $X_1(f)$ verläuft in diesem Sonderfall mit $1/f^3$.

Zur Handhabung des Programms

fehlt noch

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

Die erste Version wurde 2005 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder und Klaus Eichin).
2017 wurde „Impulse & Spektren” von David Jobst im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: Tasnád Kernetzky) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

Applet in neuem Tab öffnen