Exercise 1.3: Rectangular Functions for Transmitter and Receiver

Vergleich dreier verschiedener Systemkonzepte

Wir betrachten hier drei Varianten eines binären bipolaren AWGN–Übertragungssystems, die sich hinsichtlich des Sendegrundimpulses $g_{\rm s}(t)$ sowie der Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ des Empfangsfilters unterscheiden:

Beim System A sind beide Zeitfunktionen $g_{\rm s}(t)$ und $h_{\rm E}(t)$ rechteckförmig, lediglich die Impulshöhen ($s_{\rm 0}$ bzw. $1/T$) sind unterschiedlich.
Das System B unterscheidet sich vom System A durch einen dreieckförmigen Sendegrundimpuls mit $g_{\rm s}(t=0) = s_{\rm 0}$.
Das System C hat den gleichen Sendegrundimpuls wie das System A, während die Impulsantwort mit $h_{\rm E}(t=0) = 1/T$ dreieckförmig verläuft.

Die absolute Breite der hier betrachteten Rechteck– und Dreieckfunktionen beträgt jeweils $T = 10 \ \rm \mu s$. Die Bitrate ist $R = 100 \ \rm kbit/s$. Die weiteren Systemparameter sind wie folgt gegeben:

$$s_0 = 6 \,\,\sqrt{W}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} N_{\rm 0} = 2 \cdot 10^{-5} \,\,{\rm W/Hz}\hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe bezieht sich auf das Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung des vorliegenden Buches. Zur Bestimmung von Fehlerwahrscheinlichkeiten können Sie das folgende Interaktionsmodul verwenden:

Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen

Berücksichtigen Sie bei der Berechnung der Detektionsstörleistung das Theorem von Wiener–Chintchine:

$$ \sigma _d ^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H_{\rm E}( f )} \right|^2 \hspace{0.1cm}{\rm{d}}f} = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {h_{\rm E}( t )} \right|^2 \hspace{0.1cm}{\rm{d}}t}\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

$System\ A: g_{\rm d}(t = 0) \ = \ $

$\ \rm W^{1/2}$

$System\ A: σ_{\rm d}\ ^2 \ = \ $

$\ \rm W$

$System\ A: p_{\rm B} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-9}$

$System\ B: g_{\rm d}(t = 0) \ = \ $

$\ \rm W^{1/2}$

$System\ B: σ_{\rm d}\ ^2 \ = \ $

$\ \rm W$

$System\ B: p_{\rm B} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-2}$

$System\ C: g_{\rm d}(t = 0) \ = \ $

$\ \rm W^{1/2}$

$System\ C: σ_{\rm d}\ ^2 \ = \ $

$\ \rm W$

$System\ C: p_{\rm B} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-7}$

Musterlösung

Solution

1. Beim System A führt die Faltung der beiden gleich breiten Rechteckfunktionen $g_{\rm s}(t)$ und $h_{\rm E}(t)$ zu einem dreieckförmigen Detektionsgrundimpuls mit dem Maximum bei $t = 0$:

$$g_d (t = 0) = \int_{ - T/2}^{ + T/2} { g_s(t) \cdot h_{\rm E}( t )} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}t =s_0 \cdot \frac{1 }{T} \cdot T = s_0 \hspace{0.1cm}\underline { = 6 \,\,\sqrt{{\rm W}}}\hspace{0.05cm}.$$

2. 3. 4. 5. 6. 7.