Exercise 3.8Z: Optimal Detection Time for DFE
Wir betrachten wie in der Aufgabe 3.8 das bipolare Binärsystem mit Entscheidungsrückkopplung. Im Englischen bezeichnet man diese Konstellation als Decision Feedback Equalization (DFE).
Der vorentzerrte Grundimpuls $g_d(t)$ am Eingang der DFE entspricht der Rechteckantwort eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.25$.
Bei der idealen DFE wird ein Kompensationsimpuls $g_w(t)$ gebildet, der für alle Zeiten $t ≥ T_{\rm D} + T_{\rm V}$ genau gleich dem Eingangsimpuls $g_d(t)$ ist, so dass für den korrigierten Grundimpuls gilt:
- $$g_k(t) \ = \ g_d(t) - g_w(t) = \ \left\{ \begin{array}{c} g_d(t) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c} t < T_{\rm D} + T_{\rm V}, \\ t \ge T_{\rm D} + T_{\rm V}, \\ \end{array}$$
Hierbei bezeichnet $T_{\rm D}$ den Detektionszeitpunkt, der eine optimierbare Systemgröße darstellt. $T_{\rm D} = 0$ bedeutet eine Symboldetektion in Impulsmitte.
- Bei einem System mit DFE ist jedoch $g_k(t)$ stark unsymmetrisch, so dass ein Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} < 0$ günstiger ist.
- Die Verzögerungszeit $T_{\rm V} = T/2$ gibt an, dass die DFE erst eine halbe Symboldauer nach der Detektion wirksam wird.
- Zur Lösung dieser Aufgabe ist $T_{\rm V}$ allerdings nicht relevant.
Eine aufwandsgünstige Realisierung der DFE ist mit einem Laufzeitfilter möglich, wobei die Filterordnung bei dem gegebenen Grundimpuls mindestens $N = 3$ betragen muss. Die Filterkoeffizienten sind dabei wie folgt zu wählen:
- $$k_1 = g_d(T_{\rm D} + T),\hspace{0.2cm}k_2 = g_d(T_{\rm D} + 2T),\hspace{0.2cm}k_3 = g_d(T_{\rm D} + 3T) \hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Entscheidungsrückkopplung.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Beachten Sie auch, dass die Entscheidungsrückkopplung nicht mit einer Erhöhung der Rauschleistung verbunden ist, so dass eine Vergrößerung der (halben) Augenöffnung um den Faktor $K$ gleichzeitig einen Störabstandsgewinn von $20 \cdot {\rm lg} \, K$ zur Folge hat.
- Der vorentzerrte Grundimpuls $g_d(t)$ am Eingang der DFE entspricht der Rechteckantwort eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 0.25/T$.
- In der Tabelle sind die auf $s_0$ normierten Abtastwerte von $g_d(t)$ angegeben. Auf der Angabenseite zu Aufgabe 3.8 ist $g_d(t)$ skizziert.
Fragebogen
Musterlösung
- $$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2} = g_d(0) - g_d(-T)- g_d(-2T)- g_d(-3T)$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} = 0.470 - 0.235 - 0.029 -0.001 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.205} \hspace{0.05cm}.$$
(2) Die Koeffizienten sind so zu wählen, dass $g_k(t)$ die Nachläufer von $g_d(t)$ vollständig kompensiert.
- $$k_1 = g_d( T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.235},\hspace{0.2cm}k_2 = g_d(2T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.029},\hspace{0.2cm}k_3 = g_d(3T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.001} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Ausgehend von dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) erhält man:
- $$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} = 0.205 - 0.5 \cdot (0.235 + 0.029 + 0.001)\hspace{0.15cm}\underline { = 0.072} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Die Optimierung von $T_{\rm D}$ entsprechend den Einträgen in der Tabelle liefert:
- $$T_{\rm D}/T = 0: \hspace{0.5cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.470 – 0.235 – 0.029 – 0.001 = 0.205,$$
- $$T_{\rm D}/T = \ –0.1: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.466 \ – \ 0.204 \ – \ 0.022 \ – \ 0.001 = 0.240,$$
- $$T_{\rm D}/T = \ –0.2: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.456 \ – \ 0.174 \ – \ 0.016 \ – \ 0.001 = 0.266,$$
- $$T_{\rm D}/T = \ –0.3: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.441 \ – \ 0.146 \ – \ 0.012 \ – \ 0.001 = 0.283,$$
- $${\bf {\it T}_{\rm D}/{\it T} = \ –0.4: \hspace{0.2cm} \ddot{o}({\it T}_{\rm D})/(2 \, {\it s}_0) = 0.420 \ – \ 0.121 \ – \ 0.008 \ – \ 0.001 = 0.291,}$$
- $$T_{\rm D}/T = \ –0.5: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.395 \ – \ 0.099 \ – \ 0.006 \ – \ 0.001 = 0.290,$$
- $$T_{\rm D}/T = \ –0.6: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.366 \ – \ 0.080 \ – \ 0.004 \ – \ 0.001 = 0.282,$$
Der optimale Detektionszeitpunkt ist demnach $T_{\rm D, \ opt} \ \underline {= \ –0.4T}$ (wahrscheinlich geringfügig größer). Hierfür wurde für die halbe Augenöffnung der maximale Wert ($0.291$) ermittelt.
(5) Mit $T_{\rm D} = \ –0.4 \ T$ lauten die Filterkoeffizienten:
- $$k_1 = g_d(0.6 T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.366},\hspace{0.2cm}k_2 = g_d(1.6T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.080},\hspace{0.2cm}k_3 = g_d(2.6T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.004} \hspace{0.05cm}.$$
(6) Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe (3) erhält man hier:
- $$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D,\hspace{0.05cm} opt})}{ 2 \cdot s_0} = 0.291 - 0.5 \cdot (0.366 + 0.080 + 0.004) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.066} \hspace{0.05cm}.$$
Die Ergebnisse dieser Aufgabe lassen sich wie folgt zusammenfassen:
- Durch Optimierung des Detektionszeitpunktes wird die Augenöffnung im Idealfall um den Faktor $0.291/0.205 = 1.42$ vergrößert, was dem Störabstandsgewinn von $20 \cdot {\rm lg} \, 1.42 \approx 3 \ \rm dB$ entspricht.
- Funktioniert die DFE aufgrund von Realisierungsungenauigkeiten jedoch nur zu $50\%$, so ergibt sich mit $T_{\rm D} = \ –0.4T$ gegenüber der idealen DFE eine Verschlechterung um den Amplitudenfaktor $0.291/0.066 \approx 4.4$. Für $T_{\rm D} = 0$ ist dieser Faktor mit $2.05/0.072 \approx 3$ deutlich kleiner.
- Es ist sogar so: Das eigentlich schlechtere System (mit $T_{\rm D} = 0$) ist dem eigentlich besseren System (mit $T_{\rm D} = \ –0.4T$) überlegen, wenn die Entscheidungsrückkopplung nur zu $50%$ funktioniert. Dann ergibt sich ein Störabstandsverlust von $20 \cdot {\rm lg} \, (0.072/0.066) \approx 0.75 \ \rm dB$.
- Man kann diese Aussagen verallgemeinern: Je größer die Verbesserung durch Systemoptimierung (hier: die Optimierung des Detektionszeitpunktes) im Idealfall ist, desto größer ist auch die Verschlechterung bei nichtidealen Bedingungen, z.B. bei toleranzbehafteter Realisierung.
