Exercise 4.1: About the Gram-Schmidt Process

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Zum Gram-Schmidt-Verfahren

Für die vier durch die Abbildung definierten Signale $s_1(t), \, ... \, , s_4(t)$ sind durch Anwendung des sog. Gram–Schmidt–Verfahrens die drei sich ergebenden Basisfunktionen $\varphi_1(t)$, $\varphi_2(t)$ und $\varphi_3(t)$ zu ermitteln, so dass für die Signale mit $i = 1, \, ... \, , 4$ geschrieben werden kann:

$$s_i(t) = s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) + s_{i3} \cdot \varphi_3(t)\hspace{0.05cm}.$$

In der Teilaufgabe (1) gelte $A^2 = 1 \ \rm mW$ und $T = 1 \ \rm \mu s$. In den späteren Teilaufgaben sind die Amplitude und die Zeit jeweils normierte Größen: $A = 1$, $T = 1$. Damit sind sowohl die Koeffizienten $s_{\it ij}$ als auch die Basisfunktionen $\varphi_{\it}(t)$ – jeweils mit $j = 1, 2, 3$ – dimensionslose Größen.

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich inhaltlich auf das Kapitel Signale, Basisfunktionen und Vektorräume.
• Auf der Seite 3a des Kapitels ist das Gram–Schmidt–Verfahren angegeben, auf der Seite 3b finden Sie ein Berechnungsbeispiel ähnlich zu dieser Aufgabe.

Fragebogen

1

Welche Einheiten besitzen die folgenden Größen mit $A^2 = 1 \ \rm mW$ und $T = 1 \ {\rm \mu s}$?

	Die Basisfunktionen $\varphi_j(t)$ sind dimensionslos.
	Die Basisfunktionen $\varphi_j(t)$ haben die Einheit ${\rm s}^{\rm –0.5}$.
	Die Koeffizienten $s_{\it ij}$ sind dimensionslos.
	Die Koeffizienten $s_{\it ij}$ haben die Einheit $({\rm Ws})^{\rm 0.5}$.

2

Führen Sie den ersten Schritt des Gram–Schmidt–Verfahrens durch. Wie für die weiteren Aufgaben gelte $A = 1$ und $T = 1$.

$s_{\rm 11}$ =

$s_{\rm 12}$ =

$s_{\rm 13}$ =

3

Wie lauten die Koeffizienten des Signals $s_2(t)$ mit $A = 1$ und $T = 1$?

$s_{\rm 21}$ =

$s_{\rm 22}$ =

$s_{\rm 23}$ =

4

Wie lauten die Koeffizienten des Signals $s_3(t)$ mit $A = 1$ und $T = 1$?

$s_{\rm 31}$ =

$s_{\rm 32}$ =

$s_{\rm 33}$ =

5

Wie lauten die Koeffizienten des Signals $s_4(t)$ mit $A = 1$ und $T = 1$?

$s_{\rm 41}$ =

$s_{\rm 42}$ =

$s_{\rm 43}$ =

Musterlösung

Solution

(1)  Jede orthonormale Basisfunktion soll die Energie 1 aufweisen, das heißt, es muss gelten:

$$||\varphi_j(t)||^2 = \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_j(t)^2\,{\rm d} t = 1 \hspace{0.05cm}.$$

Damit diese Bedingung zu erfüllen ist, muss die Basisfunktion die Einheit ${\rm s}^{\rm –0.5}$ von $\varphi_{\rm j}(t)$ ist diese Gleichung nur dann mit der richtigen Dimension zu erfüllen, wenn die Koeffizienten $s_{\rm ij}$ mit der Einheit $({\rm Ws})^0.5 angegeben werden. Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>. '''(2)'''  Die Energie des Signals $s_1(t)$ ist gleich $E_1 = 2$. Daraus folgt für die Norm, für die Basisfunktion $\varphi_1(t)$ sowie für den Koeffizienten $s_{\rm 11}$: :'"`UNIQ-MathJax35-QINU`"' Die weiteren Koeffizienten sind $\underline {s_{\rm 12} = s_{\rm 13} = 0}$, da die zugehörigen Basisfunktionen bisher noch gar nicht gefunden wurden, während $\varphi_1(t)$ formgleich mit $s_1(t)$ ist. '''(3)'''  Da nach Berücksichtigung von $s_2(t)$ höchstens zwei Basisfunktionen gefunden sind, gilt mit Sicherheit $s_{\rm 23} \hspace{0.15cm} \underline{= 0}$. Dagegen erhält man für den Koeffizienten :'"`UNIQ-MathJax36-QINU`"' für die Hilfsfunktion $\theta_2(t)$: :'"`UNIQ-MathJax37-QINU`"' für die zweite Basisfunktion: :'"`UNIQ-MathJax38-QINU`"' :'"`UNIQ-MathJax39-QINU`"' und schließlich für den zweiten Koeffizienten :'"`UNIQ-MathJax40-QINU`"' Die Berechnungen sind in der nachfolgenden Grafik verdeutlicht. [[File:P_ID1995__Dig_A_4_1c.png|center|frame|Gram-Schmidt-Berechnungen]] '''(4)'''  Man erkennt sofort, dass $s_3(t)$ sich als Linearkombination aus $s_1(t)$ und $s_2(t)$ ausdrücken lässt. :'"`UNIQ-MathJax41-QINU`"' :'"`UNIQ-MathJax42-QINU`"' :'"`UNIQ-MathJax43-QINU`"' '''(5)'''  Der Bereich $2 ≤ t ≤ 3$ wird weder von $\varphi_1(t)$ noch vor $\varphi_2(t)$ abgedeckt. Deshalb liefert $s_4(t)$ die neue Basisfunktion $\varphi_3(t)$. Da außerdem $s_4(t)$ nur Anteile im Bereich $2 ≤ t ≤ 3$ aufweist und $||s_4(t) = 1$ ist, ergibt sich $\varphi_3(t) = s_4(t)$ sowie

$$s_{41} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}, \hspace{0.2cm}s_{42} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}, \hspace{0.2cm}s_{43} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 1} \hspace{0.05cm}. $$