Exercise 4.1: About the Gram-Schmidt Process

Zum Gram-Schmidt-Verfahren

Für die vier durch die Abbildung definierten Signale $s_1(t), \, ... \, , s_4(t)$ sind durch Anwendung des sog. Gram–Schmidt–Verfahrens die drei sich ergebenden Basisfunktionen $\varphi_1(t)$, $\varphi_2(t)$ und $\varphi_3(t)$ zu ermitteln, so dass für die Signale mit $i = 1, \, ... \, , 4$ geschrieben werden kann:

$$s_i(t) = s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) + s_{i3} \cdot \varphi_3(t)\hspace{0.05cm}.$$

In der Teilaufgabe (1) gelte $A^2 = 1 \ \rm mW$ und $T = 1 \ \rm \mu s$. In den späteren Teilaufgaben sind die Amplitude und die Zeit jeweils normierte Größen: $A = 1$, $T = 1$. Damit sind sowohl die Koeffizienten $s_{\it ij}$ als auch die Basisfunktionen $\varphi_{\it}(t)$ – jeweils mit $j = 1, 2, 3$ – dimensionslose Größen.

Hinweise:

Die Aufgabe bezieht sich inhaltlich auf das Kapitel Signale, Basisfunktionen und Vektorräume.
Auf der Seite 3a des Kapitels ist das Gram–Schmidt–Verfahren angegeben, auf der Seite 3b finden Sie ein Berechnungsbeispiel ähnlich zu dieser Aufgabe.

Fragebogen

	Die Basisfunktionen $\varphi_j(t)$ sind dimensionslos.
	Die Basisfunktionen $\varphi_j(t)$ haben die Einheit ${\rm s}^{\rm –0.5}$.
	Die Koeffizienten $s_{\it ij}$ sind dimensionslos.
	Die Koeffizienten $s_{\it ij}$ haben die Einheit $({\rm Ws})^{\rm 0.5}$.

$s_{\rm 11}$ =

$s_{\rm 12}$ =

$s_{\rm 13}$ =

$s_{\rm 21}$ =

$s_{\rm 22}$ =

$s_{\rm 23}$ =

$s_{\rm 31}$ =

$s_{\rm 32}$ =

$s_{\rm 33}$ =

$s_{\rm 41}$ =

$s_{\rm 42}$ =

$s_{\rm 43}$ =

Musterlösung

Solution

(1) Jede orthonormale Basisfunktion soll die Energie 1 aufweisen, das heißt, es muss gelten:

$$||\varphi_j(t)||^2 = \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_j(t)^2\,{\rm d} t = 1 \hspace{0.05cm}.$$

Damit diese Bedingung zu erfüllen ist, muss die Basisfunktion die Einheit ${\rm s}^{\rm –0.5}$ besitzen. Weiterhin ist die Gleichung

$$s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t)$$

zu berücksichtigen. Die Signale selbst weisen wie $A$ die Einheit ${\rm W}^{\rm 0.5}$ auf. Wegen der Einheit ${\rm s}^{\rm –0.5}$ von $\varphi_{\rm j}(t)$ ist diese Gleichung nur dann mit der richtigen Dimension zu erfüllen, wenn die Koeffizienten $s_{\it ij}$ mit der Einheit $({\rm Ws})^{\rm 0.5}$ angegeben werden. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 2 und 4.

(2) Die Energie des Signals $s_1(t)$ ist gleich $E_1 = 2$. Daraus folgt für die Norm, für die Basisfunktion $\varphi_1(t)$ sowie für den Koeffizienten $s_{\rm 11}$:

$$||s_1(t)|| = \sqrt{2},\hspace{0.2cm}\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||},\hspace{0.2cm} s_{11} = \sqrt{E_1} = \sqrt{2} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { {\approx 1.414} } \hspace{0.05cm}.$$

Die weiteren Koeffizienten sind $\underline {s_{\rm 12} = s_{\rm 13} = 0}$, da die zugehörigen Basisfunktionen bisher noch gar nicht gefunden wurden, während $\varphi_1(t)$ formgleich mit $s_1(t)$ ist.

(3) Da nach Berücksichtigung von $s_2(t)$ höchstens zwei Basisfunktionen gefunden sind, gilt mit Sicherheit $s_{\rm 23} \hspace{0.15cm} \underline{= 0}$. Dagegen erhält man für den Koeffizienten

$$||s_1(t)|| = \sqrt{2},\hspace{0.2cm}\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||},\hspace{0.2cm} s_{11} = \sqrt{E_1} = \sqrt{2} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { {\approx 1.414} } \hspace{0.05cm}.$$

für die Hilfsfunktion $\theta_2(t)$:

$$\theta_2(t) = s_2(t) - s_{21} \cdot \varphi_1(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 - 0.707 \cdot 0.707 = 0.5\\ 0 - 0.707 \cdot (-0.707) = 0.5 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} 0 \le t < 1 \\ 1 \le t < 2 \\ \end{array} \hspace{0.05cm}, $$

für die zweite Basisfunktion:

$$\varphi_2(t) = \frac{\theta_2(t)}{||\theta_2(t)||},\hspace{0.2cm} ||\theta_2(t)|| = \sqrt{0.5^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.5} \approx 0.707$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varphi_2(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0.5/0.707 = 0.707\\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} 0 \le t < 2 \\ 2 \le t < 3 \\ \end{array} \hspace{0.05cm}, $$

und schließlich für den zweiten Koeffizienten

$$s_{22} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_2(t), \hspace{0.1cm}\varphi_2(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = 1 \cdot 0.707 + 0 \cdot 0.707 \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.707} \hspace{0.05cm}.$$

Die Berechnungen sind in der nachfolgenden Grafik verdeutlicht.

Gram-Schmidt-Berechnungen

(4) Man erkennt sofort, dass $s_3(t)$ sich als Linearkombination aus $s_1(t)$ und $s_2(t)$ ausdrücken lässt.

$$s_{3}(t) = -s_{1}(t) + s_{2}(t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_{31} \hspace{-0.1cm}& = & \hspace{-0.1cm} - s_{11} + s_{21} = -1.414 + 0.707 = \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {-0.707}\hspace{0.05cm},$$

$$s_{32} \hspace{-0.1cm}& = & \hspace{-0.1cm} - s_{12} + s_{22} = 0 + 0.707 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.707}\hspace{0.05cm},$$

$$s_{33} \hspace{-0.1cm}& = & \hspace{-0.1cm} - s_{13} + s_{23} = 0 + 0 \hspace{0.1cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm}. $$

(5) Der Bereich $2 ≤ t ≤ 3$ wird weder von $\varphi_1(t)$ noch vor $\varphi_2(t)$ abgedeckt. Deshalb liefert $s_4(t)$ die neue Basisfunktion $\varphi_3(t)$. Da außerdem $s_4(t)$ nur Anteile im Bereich $2 ≤ t ≤ 3$ aufweist und $||s_4(t) = 1$ ist, ergibt sich $\varphi_3(t) = s_4(t)$ sowie

$$s_{41} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}, \hspace{0.2cm}s_{42} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}, \hspace{0.2cm}s_{43} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 1} \hspace{0.05cm}. $$