Exercise 4.06: Optimal Decision Boundaries

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Signalraumkonstellation für N = 2, M = 2

Wie betrachten ein binäres Nachrichtensystem ($M = 2$), das durch die gezeichnete 2D–Signalraumkonstellation ($N = 2$) festliegt. Für die beiden möglichen Sendevektoren, die mit den Nachrichten $m_0$ und $m_1$ direkt gekoppelt sind, gilt:

$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ =\ \hspace{-0.1cm} \sqrt {E} \cdot (1,\hspace{0.1cm} 5) \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0 \hspace{0.05cm},$$

$$ \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ =\ \hspace{-0.1cm} \sqrt {E} \cdot (4, \hspace{0.1cm}1) \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1 \hspace{0.05cm}.$$

Gesucht ist jeweils die optimale Entscheidungsgrenze zwischen den Regionen $I_0 ⇔ m_0$ und $I_1 ⇔ m_1$, wobei von folgenden Voraussetzungen ausgegangen wird:

• Für die Teilaufgaben (1) bis (3) gilt

$${\rm Pr}(m_0 ) = {\rm Pr}(m_1 ) = 0.5 \hspace{0.05cm}. $$

• Für die Teilaufgaben (4) und (5) soll dagegen gelten:

$${\rm Pr}(m_0 ) = 0.817 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(m_1 ) = 0.183\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = 1.5 \hspace{0.05cm}.$$

Bei AWGN–Rauschen mit der Varianz $\sigma_n^2$ ist die Entscheidungsgrenze die Lösung der folgenden vektoriellen Gleichung hinsichtlich des Vektors ($\rho_1, \rho_2$):

$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 + 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = 2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \boldsymbol{ \rho } = (\rho_1 , \hspace{0.1cm}\rho_2 )\hspace{0.05cm}.$$

Zusätzlich sind in der Grafik zwei Empfangswerte

$$\boldsymbol{ A }= \sqrt {E} \cdot (1.5, \hspace{0.1cm}2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ B }= \sqrt {E} \cdot (3, \hspace{0.1cm}3.5) $$

eingezeichnet. Es ist zu überprüfen, ob diese bei den entsprechenden Randbedingungen den Regionen $I_0$ (und damit der Nachricht $m_0$) oder $I_1$ (Nachricht $m_1$) zugeordnet werden sollten.

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit dieses Buches.
• Für numerische Berechnungen kann zur Vereinfachung die Energie $E = 1$ gesetzt werden.

Fragebogen

1

Wo liegt die optimale Entscheidergrenze bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?

	$\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8$,
	$\rho_2 = \, –4/3 \cdot \rho_1 + 19/3$,
	$\rho_2 = 3$.

2

Zu welchem Entscheidungsgebiet gehört der Empfangswert $A = (1.5, 2)$?

	Zum Entscheidungsgebiet $I_0$,
	zum Entscheidungsgebiet $I_1$.

3

Zu welchem Entscheidungsgebiet gehört der Empfangswert $B = (3, 3.5)$?

	Zum Entscheidungsgebiet $I_0$,
	zum Entscheidungsgebiet $I_1$.

4

Wie lautet die Gleichung der Entscheidungsgeraden für ${\rm Pr}(m_0) = 0.817, \sigma_n = 1$?

	$\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8$,
	$\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 3/4$,
	$\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_2 + 3/2$,
	$\rho_2 = 3/4$.

5

Welche Entscheidungen werden mit diesen neuen Regionen $I_0$ und $I_1$ getroffen?

	Der Empfangsvektor $A$ wird als Nachricht $m_0$ interpretiert.
	Der Empfangsvektor $A$ wird als Nachricht $m_1$ interpretiert.
	Der Empfangsvektor $B$ wird als Nachricht $m_0$ interpretiert.
	Der Empfangsvektor $B$ wird als Nachricht $m_1$ interpretiert.

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)