Exercise 1.10Z: Gaussian Band-Pass

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Gaußförmiger Bandpasskanal

Bei trägerfrequenzmodulierter Übertragung muss der Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ stets als Bandpass angesetzt werden. Die Kanalparameter sind zum Beispiel die Mittenfrequenz $f_{\rm M}$ und die Bandbreite $\Delta f_{\rm K}$, wobei die Mittenfrequenz $f_{\rm M}$ oft mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ übereinstimmt. In dieser Aufgabe soll insbesondere von einem Gaußbandpass mit dem Frequenzgang

$$H_{\rm K}(f) = {\rm exp} \left [ - \pi \cdot \left ( \frac {f - f_{\rm M} }{\Delta f_{\rm K}}\right )^2 \right ] +{\rm exp} \left [ - \pi \cdot \left ( \frac {f + f_{\rm M} }{\Delta f_{\rm K}}\right )^2 \right ]$$

entsprechend der Grafik ausgegangen werden:

• Zur Modulation wird binäre Phasenmodulation (BPSK) verwendet.
• Die Demodulation erfolgt frequenz– und phasensynchron.

Zur Beschreibung benutzt man oft den äquivalenten TP–Frequenzgang $H_{\rm K,TP}(f)$. Dieser ergibt sich aus $H_{\rm K}(f)$ durch

• Abschneiden der Anteile bei negativen Frequenzen,
• Verschieben des Spektrums um $f_{\rm T}$ nach links.

Im betrachteten Beispiel ergibt sich mit $f_{\rm T} = f_{\rm M}$ für den äquivalenten TP–Frequenzgang:

$$ H_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(f) = {\rm exp} \left [ - \pi \cdot \left ( {f }/{\Delta f_{\rm K}}\right )^2 \right ].$$

Die entsprechende Zeitfunktion (Fouruerrücktransformierte) lautet:

$$ h_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(t) = \Delta f_{\rm K} \cdot {\rm exp} \left [ - \pi \cdot \left ( {\Delta f_{\rm K}} \cdot t \right )^2 \right ].$$

Zur Beschreibung eines phasensynchronen BPSK–Systems im Tiefpassbereich eignet sich aber auch der Frequenzgang

$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \left [ H_{\rm K}(f-f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\right ] ,$$

wobei „MKD” für Modulator – Kanal – Demodulator steht. Häufig – aber nicht immer – sind $H_{\rm MKD}(f)$ und $H_{\rm K,TP}(f)$ identisch.

Hinweis:

Die Aufgabe bezieht sich auf die letzte Theorieseite von Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation.

Fragebogen

1

Geben Sie die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ des Gauß–Bandpasskanals an. Welcher (normierte) Wert ergibt sich für den Zeitpunkt $t = 0$?

$ h_{\rm K}(t)/\Delta f_{\rm K} \ = \ $

2

Welche Aussagen gelten unter der Voraussetzung $f_{\rm T} = f_{\rm M}$?

	$H_{\rm K,TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$ stimmen vollständig überein.
	$H_{\rm K,TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$ sind für tiefe Frequenzen gleich.
	Die Zeitfunktion $h_{\rm K,TP}(t)$ ist reell.
	Die Zeitfunktion $h_{\rm MKD}(t)$ ist reell.

3

Welche Aussagen gelten unter der Voraussetzung $f_{\rm T} \neq f_{\rm M}$?

	$H_{\rm K,TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$ stimmen vollständig überein.
	$H_{\rm K,TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$ sind für tiefe Frequenzen gleich.
	Die Zeitfunktion $h_{\rm K,TP}(t)$ ist reell.
	Die Zeitfunktion $h_{\rm MKD}(t)$ ist reell.

4

Im Hinblick auf eine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit sollte gelten:

	$f_{\rm M} = f_{\rm T}$.
	$f_{\rm M} \neq f_{\rm T}$.

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)