Exercise 2.1: ACF and PSD with Coding
Wir betrachten das Digitalsignal
- $$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T) \hspace{0.05cm},$$
wobei wir folgende Beschreibungsgrößen verwenden:
- $a_{\nu}$ sind die Amplitudenkoeffizienten,
- $g_{s}(t)$ gibt den Sendegrundimpuls an,
- $T$ ist die Symboldauer (Abstand der Impulse).
Zur Charakterisierung der spektralen Eigenschaften, die sich aufgrund der Codierung und der Impulsformung ergeben, verwendet man unter anderem
- die Autokorrelationsfunktion (AKF)
- $$\varphi_s(\tau) = \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}{1}/{T} \cdot \varphi_a(\lambda)\cdot \varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau - \lambda \cdot T)\hspace{0.05cm},$$
- das Leistungsdichtespektrum (LDS)
- $${\it \Phi}_s(f) = {1}/{T} \cdot {\it \Phi}_a(f) \cdot {\it \Phi}^{^{\bullet}}_{gs}(f) \hspace{0.05cm}.$$
Hierbei bezeichnet $\varphi_{a}(\lambda)$ die diskrete Autokorrelationsfunktion der Amplitudenkoeffizienten, die mit der spektralen Leistungsdichte $\Phi_{a}(f)$ über die Fouriertransformation zusammenhängt. Für diese gilt somit:
- $${\it \Phi}_a(f) = \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}\varphi_a(\lambda)\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi f \hspace{0.02cm} \lambda T} \hspace{0.05cm}.$$
Weiterhin sind in obigen Gleichungen die Energie–AKF und das Energiespektrum verwendet:
- $$\varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} g_s ( t ) \cdot g_s ( t + \tau)\,{\rm d} t \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm} {\it \Phi}^{^{\bullet}}_{gs}(f) = |G_s(f)|^2 \hspace{0.05cm}.$$
In der vorliegenden Aufgabe soll für die spektrale Leistungsdichte der Amplitudenkoeffizienten folgender Funktionsverlauf angenommen werden (siehe Grafik):
- $${\it \Phi}_a(f) = {1}/{2} - {1}/{2} \cdot \cos (4 \pi f \hspace{0.02cm} T)\hspace{0.05cm}.$$
Für den Sendegrundimpuls werden folgende Annahmen getroffen:
- n der Teilfrage (2) sei $g_{s}(t)$ ein NRZ–Rechteckimpuls, so dass eine dreieckförmige Energie–AKF vorliegt, die auf den Bereich $|\tau| ≤ T$ beschränkt ist. Das Maximum ist dabei
- $$\varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau = 0) = s_0^2 \cdot T \hspace{0.05cm}.$$
- Für die Teilaufgabe (3) soll von einer Wurzel–Nyquist–Charakteristik mit Rolloff–Faktor $r = 0$ ausgegangen werden. In diesem Fall gilt:
- $$|G_s(f)|^2 = \left\{ \begin{array}{c} s_0^2 \cdot T^2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c} |f| < {1}/({2T}) \hspace{0.05cm}, \\ |f| > {1}/({2T}) \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$
- Für numerische Berechnungen ist stets $s_{0}^{2} = 10 \ \rm mW$ zu verwenden.
Hinweis:
Die Aufgabe gehört zum Grundlagen der codierten Übertragung des vorliegenden Buches. Berücksichtigen Sie, dass die Sendeleistung $P_{\rm S}$ gleich der AKF $\varphi_{s}(\tau)$ an der Stelle $\tau = 0$ ist, aber auch als Integral über das LDS $\Phi_{s}(f)$ berechnet werden kann.
Fragebogen
Musterlösung
