Exercise 4.17: Non-Coherent On-Off Keying
Die Abbildung zeigt die beiden Dichtefunktionen, die sich bei einer nichtkohärenten Demodulation von On–Off–Keying ergeben. Dabei wird vorausgesetzt, dass die zwei OOK–Signalraumpunkte bei $\boldsymbol{s}_0 = C$ (Nachricht $m_0$) und bei $\boldsymbol{s}_1 = 0$ (Nachricht $m_1$) liegen.
Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit dieses Systems wird durch die folgende Gleichung beschrieben:
- $$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}({\cal{E}}) = $$
- $$\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{ 2} \cdot \int_{0}^{G} p_{y|m} (\eta | m_0) \,{\rm d} \eta +$$
- $$ \hspace{-0.1cm} \ + \ \hspace{-0.1cm} {1}/{ 2} \cdot \int_{G}^{\infty} p_{y|m} (\eta | m_1) \,{\rm d} \eta \hspace{0.05cm}.$$
Mit der Streuung $\sigma_n = 1$, die im Folgenden vorausgesetzt wird, lautet die sich für $m = m_1$ ergebende Rayleighverteilung (blaue Kurve):
- $$p_{y|m} (\eta | m_1) = \eta \cdot {\rm e }^{-\eta^2/2} \hspace{0.05cm}.$$
Die Riceverteilung (rote Kurve) kann im vorliegenden Fall (wegen $C >> \sigma_n$) durch eine Gaußverteilung angenähert werden:
- $$p_{y|m} (\eta | m_0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot {\rm e }^{-(\eta-C)^2/2} \hspace{0.05cm}.$$
Die optimale Entscheidergrenze $G_{\rm opt}$ ergibt sich aus dem Schnittpunkt von roter und blauer Kurve. Aus den beiden Skizzen erkennt man, dass $G_{\rm opt}$ von $C$ abhängt. Für die obere Grafik gilt $C = 4$, für die untere $C = 6$. Alle Größen sind normiert und es wird stets $\sigma_n = 1$ vorausgesetzt.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation.
- Für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral können Sie folgende Näherungen verwenden:
- $${\rm Q }(1.5) \approx 0.0668\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q }(2.5) \approx 0.0062\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm Q }(2.65) \approx 0.0040 \hspace{0.05cm}.$$
- Sie können Ihre Ergebnisse mit folgendem Berechnungstool kontrollieren: Nichtkohärentes On–Off–Keying
Fragebogen
Musterlösung
