Exercise 4.17Z: Rayleigh and Rice Distribution

Rice- und Rayleighverteilung

Für die Untersuchung von Nachrichtensystemen haben die Rayleigh– und die Rice–Verteilung eine große Bedeutung. Im Folgenden sei $y$ eine rayleigh– oder eine riceverteilte Zufallsgröße und $\eta$ jeweils eine Realisierung davon.

Die Rayleighverteilung ergibt sich dabei für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (kurz: WDF) einer Zufallsgröße $y$, die sich aus den beiden gaußverteilten und statistisch unabhängigen Komponenten $u$ und $\upsilon$ (beide mit der Streuung $\sigma_n$) wie folgt ergibt:

$$y = \sqrt{u^2 + v^2} \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} p_y (\eta) = \frac{\eta}{\sigma_n^2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2}{2 \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.01cm}.$$

Die Riceverteilung erhält man unter sonst gleichen Randbedingungen für den Anwendungsfall, dass bei einer der beiden Komponenten noch eine Konstante $C$ addiert wird:

$$y = \sqrt{(u+C)^2 + v^2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_y (\eta) = \frac{\eta}{\sigma_n^2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 + C^2}{2 \sigma_n^2}\right ] \cdot {\rm I }_0 \left [ \frac{\eta \cdot C}{ \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Gleichung bezeichnet ${\rm I}_0(x)$ die modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung.

In der Grafik sind die beiden Dichtefunktionen dargestellt, wobei allerdings nicht angegeben wird, ob $p_{\rm I}(\eta)$ bzw. $p_{\rm II}(\eta)$ der Riceverteilung zuordnen, und für die Ermittlung der WDF–Parameter können Sie folgende Aussagen berücksichtigen:

Für große Werte des Quotienten $C/\sigma_n$ lässt sich die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert $C$ und Streuung $\sigma_n$ annähern.
Die der Grafik zugrunde liegenden Werte von $C$ und $\sigma_n$ sind ganzzahlig

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) (2) (3) (4) (5)

	correct
	false