Exercise 2.7Z: Power-Spectral Density of Pseudo-Ternary Codes

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Leistungsdichtespektren der Pseudoternärcodes

In der Grafik sehen Sie die Leistungsdichtespektren von drei verschiedenen Pseudoternärcodes, die sich aus der allgemeinen Beschreibung gemäß Aufgabe A2.7 durch unterschiedliche Werte der Parameter $N_{\rm C}$ und $K_{\rm C}$ ergeben. In verschiedenen Farben sind die Leistungsdichtespektren

$${\it \Phi}_s(f) 0 \ \frac{s_0^2 \cdot T}{2} \cdot {\rm si}^2 (\pi f T) \cdot \left [1 - K_{\rm C} \cdot \cos (2\pi f N_{\rm C} T)\right ]$$

für folgende Varianten dargestellt:

• AMI–Code $(N_{\rm C} = 1, K_{\rm C} = +1)$,
• Duobinärcode $(N_{\rm C} = 1, K_{\rm C} = –1)$,
• Bipolarcode zweiter Ordnung $(N_{\rm C} = 2, K_{\rm C} = +1)$.

Bei obiger LDS–Gleichung ist die Verwendung von rechteckförmigen NRZ–Sendegrundimpulsen vorausgesetzt. Alle hier betrachteten Pseudoternärcodes besitzen dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung:

$${\rm Pr}[s(t) = 0]= {1}/{2},\hspace{0.2cm}{\rm Pr}[s(t) = +s_0]= {\rm Pr}[s(t) = -s_0]={1}/{4}\hspace{0.05cm}.$$

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Symbolweise Codierung mit Pseudoternärcodes. Sie können Ihre Ergebnisse mit folgendem Interaktionsmodul überprüfen: Signale, AKF und LDS der Pseutoternärcodes

Fragebogen

1

Welcher Kurvenzug gehört zum AMI–Code?

	rot,
	blau,
	grün.

2

Welcher Kurvenzug gehört zum Duobinärcode?

	rot,
	blau,
	grün.

3

Welcher Kurvenzug gehört zum Bipolarcode zweiter Ordnung?

	rot,
	blau,
	grün.

4

Welcher Code besitzt die größte Sendeleistung?|type="[]"

	AMI–Code.
	Duobinärcode.
	Bipolarcode 2. Ordnung.
	Die Sendeleistung ist bei allen Codes gleich.

5

Welcher dieser Codes ist gleichsignalfrei?

	AMI–Code.
	Duobinärcode.
	Bipolarcode 2. Ordnung.

6

Warum benötigt man beim „Telefonkanal” gleichsignalfreie Codes?

	Zur Verbindung von Leitungen unterschiedlicher Impedanz braucht man Übertrager. Diese haben Hochpasscharakter.
	Da die Stromversorgung oft über die Signalleitung erfolgt, darf das Nachrichtensignal keinen Gleichsignalanteil beinhalten.

Musterlösung

Solution

(1)  Beim AMI–Code kann das LDS wie folgt umgeformt werden:

$${\it \Phi}_s(f) = {s_0^2 \cdot T} \cdot \sin^2 (\pi f T) \cdot {\rm si}^2 (\pi f T) \hspace{0.05cm}.$$

Dieser Kurvenverlauf ist rot dargestellt. Das LDS der Amplitudenkoeffizienten ist ${\it \Phi}_{a}(f) = sin2(\pi fT)$.

(2)  Nach Umformung erhält man für den Duobinärcode:

$${\it \Phi}_s(f) = {s_0^2 \cdot T} \cdot \cos^2 (\pi f T) \cdot {\rm si}^2 (\pi f T) \hspace{0.05cm}.$$

In der Grafik ist der Duobinärcode blau gezeichnet. Weiterhin gilt ${\it \Phi}_{a}(f) = cos2(\pi fT)$.

(3)  Der Bipolarcode zweiter Ordnung unterscheidet sich vom AMI–Code nur durch den Faktor $2$ im Argument der $sin^{2}$–Funktion:

$${\it \Phi}_s(f) = {s_0^2 \cdot T} \cdot \sin^2 (2\pi f T) \cdot {\rm si}^2 (\pi f T) \hspace{0.05cm}.$$

Der grüne Kurvenzug stellt diesen Funktionsverlauf dar. Gegenüber dem AMI-Code ist ${\it \Phi}_{a}(f)$ genau halb so breit.

(4)  Die Sendeleistung $P_{\rm S}$ ist gleich dem Integral über das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{s}(f)$ und ist für alle hier betrachteten Codes gleich $\Rightarrow$ Lösungsvorschlag 4. Dies folgt auch aus der Leistungsberechnung durch Scharmittelung:

$$P_{\rm S} = \ {\rm Pr}[s(t) = +s_0] \cdot (+s_0)^2 + {\rm Pr}[s(t) = -s_0] \cdot (-s_0)^2=$$

$$\hspace{0.6cm}= \ {1}/{4}\cdot s_0^2 + {1}/{4}\cdot s_0^2 = {1}/{2}\cdot s_0^2\hspace{0.05cm}.$$

(5)  Gleichsignalfreiheit liegt vor, wenn das Leistungsdichtespektrum bei der Frequenz $f = 0$ keinen Anteil aufweist. Dies gilt für den AMI–Code und den Bipolarcode zweiter Ordnung $\Rightarrow$ Lösungsvorschläge 1 und 3. Diese Aussage bedeutet nicht nur, dass $s(t)$ keinen Gleichanteil besitzt, also dass ${\it \Phi}_{s}(f)$ keine Diracfunktion bei $f = 0$ besitzt. Es bedeutet darüber hinaus auch, dass der kontinuierliche LDS–Anteil bei $f = 0$ verschwindet. Dies wird genau dann erreicht, wenn die lange „$+1$”– und die lange „$–1$”–Folge durch die Codiervorschrift ausgeschlossen werden.

(6)  Beide vorgegebenen Lösungsvorschläge treffen in der Praxis zu.