Exercise 1.5: SPC (5, 4) and BEC Model
Für diese Aufgabe wird vorausgesetzt:
- Der Single Parity–check Code mit $k = 4$ und $n = 5$ ⇒ SPC (5, 4) fügt zu den Informationsbits $u_{1}, ... , u_{4}$ ein Prüfbit p hinzu, so dass in jedem Codewort x eine gerade Anzahl von Einsen vorkommt:
- $$x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_5 = 0 \hspace{0.05cm},$$
- $$ u_1 \oplus u_2 \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p = 0 \hspace{0.05cm}.$$
- Der Binary Erasure Channel (BEC) – mit binären Eingangswerten $x_{i} \in {0, 1}$ und ternärem Ausgang $y_{i} \in$ {0, 1, E} führt mit Wahrscheinlichkeit $\lambda = 0.1$ zu einer Auslöschung (englisch: Erasure), abgekürzt mit „E”. Weiterhin gilt Pr$(y_{i} = x_{i}) = 1 – \lambda = 0.9$. Ein echter Übertragungsfehler wird ausgeschlossen:
- $$ {\rm Pr} [(x_i = 0)\cap (y_i = 1)] = {\rm Pr} [(x_i = 1)\cap (y_i = 0)] = 0\hspace{0.05cm}.$$
Der Zusammenhang zwischen dem Informationswort u und dem Codewort x ist durch die obige Tabelle gegeben. Aus dem Empfangswort y wird durch Maximum–Likelihood–Entscheidung der Vektor $\underline{\upsilon}$ der Informationsbits an der Sinke gebildet, der möglichst mit dem Informationswort u übereinstimmen sollte. Es gelte die folgende Nomenklatur:
- $$\underline{u} \ \in \ \{\underline{u}_0, \underline{u}_1,\hspace{0.15cm} ... \hspace{0.2cm}, \underline{u}_{15}\} \hspace{0.05cm},$$
- $$ \underline{v} \ \in \ \{\underline{v}_0, \underline{v}_1, \hspace{0.15cm}... \hspace{0.2cm}, \underline{v}_{15}, \underline{E}\} \hspace{0.05cm}.$$
Das Ergebnis $\underline{\upsilon} =\underline{\rm E} = {\rm (E, E, E, E)}$ kennzeichnet dabei, dass aufgrund zu vieler Auslöschungen eine Decodierung des Codewortes nicht möglich ist.
Hinweis:
Die Aufgabe bezieht sich auf das Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen und Beispiele binärer Blockcodes des vorliegenden Buches. Die Prüfbits von $u_{0}, u_{4} {\rm und} \ u_{13}$ sollen in der Teilaufgabe (1) ermittelt werden.
Fragebogen
Musterlösung
