Exercise 5.2: Error Correlation Function

Wahrscheinlichkeiten der Fehlerabstände und Fehlerkorrelationsfunktion

Zur Charakterisierung von digitalen Kanalmodellen verwendet man unter Anderem

die Fehlerkorrelationsfunktion (FKF)

$$\varphi_{e}(k) = {\rm E}[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}]\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k \ge 0\hspace{0.05cm},$$

die Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten

$${\rm Pr}( a =k) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k \ge 1\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnen

$〈e_{\rm \nu}〉$ die Fehlerfolge mit $e_{\rm \nu} ∈ \{0, 1\}$, und
$a$ den Fehlerabstand.

Zwei direkt aufeinanderfolgende Bitfehler werden somit durch den Fehlerabstand $a = 1$ gekennzeichnet.

Die Tabelle zeigt beispielhafte Werte der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(a = k)$ sowie der Fehlerkorrelationsfunktion $\varphi_e(k)$. Einige Angaben fehlen in der Tabelle. Diese Werte sollen aus den gegebenen Werten berechnet werden.

Hinweise:

Die Aufgabe behandelt den Lehrstoff des Kapitels Beschreibungsgrößen digitaler Kanalmodelle.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist gleich dem FKF–Wert für $k = 0$. Wegen $e_{\nu} ∈ \{0, 1\}$ gilt nämlich:

$$\varphi_{e}(k = 0) = {\rm E}[e_{\nu}^2 ]= {\rm E}[e_{\nu} ]= p_{\rm M} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm M}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.1} \hspace{0.05cm}.$$

(2) Der mittlere Fehlerabstand ist gleich dem Kehrwert der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit. Das heißt: $E[a] = 1/p_{\rm M} \ \underline {= 10}$.

(3) Nach der Definitionsgleichung und dem Satz von Bayes erhält man folgendes Ergebnis:

$$\varphi_{e}(k = 1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm E}[e_{\nu} \cdot e_{\nu + 1}] = {\rm E}[(e_{\nu} = 1) \cdot (e_{\nu + 1}=1)]=$$

$$\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}{\rm Pr}(e_{\nu + 1}=1 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) \cdot {\rm Pr}(e_{\nu} = 1) \hspace{0.05cm}.$$

Die erste Wahrscheinlichkeits ist gleich ${\rm Pr}(a = 1)$ und die zweite Wahrscheinlichkeit ist gleich $p_{\rm M}$:

$$\varphi_{e}(k = 1) = 0.3091 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = 0.0309} \hspace{0.05cm}.$$

(4) Der FKF–Wert $\varphi_e(k = 2)$ kann (näherungsweise) folgendermaßen interpretiert werden:

$$\varphi_{e}(k = 2) ={\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) \cdot p_{\rm M}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) = \frac{\varphi_{e}(k = 2)}{p_{\rm M}} = \frac{0.0267}{0.1} = 0.267\hspace{0.05cm}.$$

Diese Wahrscheinlichkeit setzt sich zusammen aus den beiden Möglichkeiten „Zum Zeitpunkt $\nu+1$ tritt ein Fehler auf” sowie „Zum Zeitpunkt $\nu+1$ gibt es keinen Fehler”:

$${\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) = {\rm Pr}( a =1) \cdot {\rm Pr}( a =1) + {\rm Pr}( a =2)$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}( a =2)= 0.267 - 0.3091^2 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1715}\hspace{0.05cm}.$$

Bei der Rechnung wurde davon ausgegangen, dass die einzelnen Fehlerabstände statistisch voneinander unabhängig sind. Diese Annahme gilt allerdings nur für eine besondere Klasse von Kanalmodellen, die man als „erneuernd” bezeichnet. Das hier betrachtete Bündelfehlermodell erfüllt diese Bedingung nicht. Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(a = 2) = 0.1675$ weicht deshalb vom hier berechneten Wert ($0.1715$) geringfügig ab.