Exercise 1.5: SPC (5, 4) and BEC Model
Für diese Aufgabe wird vorausgesetzt:
- Der Single Parity–check Code mit $k = 4$ und $n = 5$ ⇒ SPC (5, 4) fügt zu den Informationsbits $u_{1}, ... , u_{4}$ ein Prüfbit p hinzu, so dass in jedem Codewort x eine gerade Anzahl von Einsen vorkommt:
- $$x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_5 = 0 \hspace{0.05cm},$$
- $$ u_1 \oplus u_2 \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p = 0 \hspace{0.05cm}.$$
- Der Binary Erasure Channel (BEC) – mit binären Eingangswerten $x_{i} \in {0, 1}$ und ternärem Ausgang $y_{i} \in$ {0, 1, E} führt mit Wahrscheinlichkeit $\lambda = 0.1$ zu einer Auslöschung (englisch: Erasure), abgekürzt mit „E”. Weiterhin gilt Pr$(y_{i} = x_{i}) = 1 – \lambda = 0.9$. Ein echter Übertragungsfehler wird ausgeschlossen:
- $$ {\rm Pr} [(x_i = 0)\cap (y_i = 1)] = {\rm Pr} [(x_i = 1)\cap (y_i = 0)] = 0\hspace{0.05cm}.$$
Der Zusammenhang zwischen dem Informationswort u und dem Codewort x ist durch die obige Tabelle gegeben. Aus dem Empfangswort y wird durch Maximum–Likelihood–Entscheidung der Vektor $\underline{\upsilon}$ der Informationsbits an der Sinke gebildet, der möglichst mit dem Informationswort u übereinstimmen sollte. Es gelte die folgende Nomenklatur:
- $$\underline{u} \ \in \ \{\underline{u}_0, \underline{u}_1,\hspace{0.15cm} ... \hspace{0.2cm}, \underline{u}_{15}\} \hspace{0.05cm},$$
- $$ \underline{v} \ \in \ \{\underline{v}_0, \underline{v}_1, \hspace{0.15cm}... \hspace{0.2cm}, \underline{v}_{15}, \underline{E}\} \hspace{0.05cm}.$$
Das Ergebnis $\underline{\upsilon} =\underline{\rm E} = {\rm (E, E, E, E)}$ kennzeichnet dabei, dass aufgrund zu vieler Auslöschungen eine Decodierung des Codewortes nicht möglich ist.
Hinweis:
Die Aufgabe bezieht sich auf das Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen und Beispiele binärer Blockcodes des vorliegenden Buches. Die Prüfbits von $u_{0}, u_{4} {\rm und} \ u_{13}$ sollen in der Teilaufgabe (1) ermittelt werden.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Das Prüfbit p wird beim Single Parity–check Code so bestimmt, dass die Summe aller Einsen im Codewort $\underline{x} = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{4}, p)$ geradzahlig ist. Beispielsweise erhält man:
- $$\underline{u}_0 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_0 = (0, 0, 0, 0, 0)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0} \hspace{0.05cm},\\ \underline{u}_4 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_4 = (0, 1, 0, 0, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm},\\ \underline{u}_{13} \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (1, 1, 0, 1) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} \underline{x}_{13} = (1, 1, 0, 1, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm}.$$
(2) Aufgrund der Tatsache, dass die Anzahl der Einsen geradzahlig sein muss, ist das ausgelöschte Prüfbit $p = 0$. Gesendet wurde also $\underline{u}_{0}$ ⇒ Antwort 1.
(3) Nach gleichen Überlegungen wie in der letzten Teilaufgabe kommt man für $\underline{y} = (0,
{\rm E}, 0, 0, 1)$ zum Ergebnis $\underline{x} = \underline{x}_{4} = (0, 1, 0, 0, 1) ⇒ \underline{u}_{4} = (0, 1, 0, 0)$ ⇒ Antwort 2.
(4) Das Ereignis $„\underline{y} = \underline{x}”$ tritt nur dann auf, wenn durch den BEC–Kanal keines der $n = 5$ Codebits ausgelöscht wird:
- $${\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) = (1 - \lambda)^5 = 0.9^5 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.591} \hspace{0.05cm}.$$
(5) Das Ereignis $„\upsilon = u”$ tritt dann auf, wenn alle Codebits richtig übertragen werden ⇒ Pr($\underline{y} = \underline{x}$), aber auch dann, wenn nur ein Codebit ausgelöscht wird. Entsprechend der Binominalverteilung gibt es hierfür 5 Möglichkeiten:
- $${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) + 5 \cdot (1 - \lambda)^4 \cdot \lambda = $$
- $$\hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} 0.591 + 5 \cdot 0.656^4 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.919} \hspace{0.05cm}.$$
(6) Aufgrund des BEC–Modells ist die Verfälschung eines Codewortes x per se ausgeschlossen, da keines der Bit von 0 → 1 bzw. von 1 → 0 verfälscht werden kann. Vielmehr gilt:
- $${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) + {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 - {\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{0.15cm} \underline{= 0.081} \hspace{0.05cm}.$$
