Exercise 4.6: Product Code Generation
Es soll ein Produktcode (42, 12) generiert werden, der auf folgenden Komponentencodes aufbaut:
- dem Hammingcode (7, 4, 3) $\Rightarrow C_1$,
- dem verkürzten Hamming–Code (6, 3, 3) $\Rightarrow C_2$.
Die entsprechenden Codetabellen sind rechts angegeben, wobei jeweils drei Zeilen unvollständig sind. Diese sollen von Ihnen ergänzt werden.
Das zu einem Informationsblock $\underline{u}$ gehörige Codewort ergibt sich allgemein entsprechend der Gleichung $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{G}$. Wie auch in der Aufgabe Z4.6 wird hier von folgenden Generatormatrizen ausgegangen:
- $${ \boldsymbol{\rm G}}_1 = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 &1 &0 &1 \\ 0 &1 &0 &0 &1 &1 &0 \\ 0 &0 &1 &0 &0 &1 &1 \\ 0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
- $${ \boldsymbol{\rm G}}_2 = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0 \\ 0 &1 &0 &1 &0 &1 \\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
In der gesamten Aufgabe gelte für den Informationsblock:
- $${ \boldsymbol{\rm U}} = \begin{pmatrix} 0 &1 &1 &0 \\ 0 &0 &0 &0 \\ 1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
Gesucht sind entsprechend der Nomenklatur auf der Ersten Theorieseite:
- die Parity–Matrix $\mathbf{P}^{(1)}$ bezüglich des horizontalen Codes $C_1$,
- die Parity–Matrix $\mathbf{P}^{(2)}$ bezüglich des vertikalen Codes $C_2$,
- die Checks–on–Checks–Matrix $\mathbf{P}^{(12)}$.
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Grundlegendes zu den Produktcode.
Fragebogen
Musterlösung
Allgemein gilt $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{G}. Daraus folgt für * den ersten Zeilenvektor: :'"`UNIQ-MathJax20-QINU`"' * den zweiten Zeilenvektor: :'"`UNIQ-MathJax21-QINU`"' * den dritten Zeilenvektor :'"`UNIQ-MathJax22-QINU`"' '''(2)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>: :'"`UNIQ-MathJax23-QINU`"' :'"`UNIQ-MathJax24-QINU`"' Zu dieser Teilaufgabe ist weiter anzumerken: * Die angegebene erste Spalte ist schon allein deshalb richtig, weil sie mit einer Zeile (der dritte) der Generatormatrix $\mathbf{G}_2$ übereinstimmt. * Die dritte Spalte des 2D–Codewortes müsste mit der zweiten Spalte identisch sein, da jeweils vom gleichen Codewort $(1, \, 0, \, 1)$ ausgegangen wird. * Der angegebene Vektor $(1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1)$ kann aber schon allein deshalb nicht richtig sein, da $C_2$ ebenso wie $C_1$ ein systematischer Code ist. * Auch der verkürzte (6, 3, 3)–Hammingcode $C_2$ ist linear, so dass auch ohne Rechnung die Zuordnung $\underline{u} = (0, \, 0, \, 0) \ \Rightarrow \ \underline{x} = (0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0)$ angebbar ist. '''(3)''' [[File:P_ID3005__KC_A_4_6c_v1.png|right|frame|Vollständige Codetabellen]] Rechts sind die vollständigen Codetabellen des * Hammingcodes (7, 4, 3), * verkürzten Hammingcodes (6, 3, 3) angegeben. Man erkennt daraus (ohne dass das für diese Aufgabe von Interesse ist), dass die hier betrachteten Codes jeweils die Hamming–Distanz $d_{\rm min} = 3$ aufweise. Die folgende kleine Grafik zeigt das Ergebnis der gesamten Codierung. Unten rechts ist die Checks–on–Checks–Matrix der Dimension $3 ×, 3$ zu erkennen. [[File:P_ID3012__KC_A_4_6d_v3.png|center|frame|Gesuchter Produktcode]] Bezüglich der Teilaufgabe (3) sind nur <u>die Lösungsvorschläge 1 und 2</u> richtig, wobei es Zufall ist, dass hier in der Checks–on–Checks–Matrix zwei Zeilen und zwei Spalten identisch sind. Weiter ist anzumerken: Es ist egal, ob man die Zeilen 4 bis 6 der Gesamtmatrix über den Code $C_1$ gewinnt oder die Spalten 5 bis 7 über den Code $C_2$.
