Exercise 4.6Z: Basics of Product Codes

Generatormatrizen der Komponentencodes

Wir betrachten hier einen Produktcode entsprechend der Beschreibung auf der ersten Theorieseite. Die beiden Komponentencodes $C_1$ und $C_2$ sind durch die rechts angegebenen Generatormatrizen $\mathbf{G}_1$ und $\mathbf{G}_2$ festgelegt.

Hinweise:

Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Grundlegendes zu den Produktcodes
Die beiden Komponentencodes $C_1$ und $C_2$ wurden auch in der Aufgabe A4.6 betrachtet.

Fragebogen

	Die Coderate von $C_1$ ist $R_1 = 4/7$.
	Der Code $C_1$ ist systematisch.
	$C_1$ ist ein verkürzter Hamming–Code.
	Die minimale Distanz dieses Codes ist $d_1 = 3$.

	Die Coderate von $C_2$ ist $R_2 = 4/7$.
	Der Code $C_2$ ist systematisch.
	$C_2$ ist ein verkürzter Hamming–Code.
	Die minimale Distanz dieses Codes ist $d_2 = 3$.

$k \ = \ $

$n \ = \ $

$d \ = \ $

$R \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1) Richtig sind die Aussagen 1, 2 und 4:

Die Anzahl der Zeilen der Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ gibt die Länge des Informationsblocks an: $k = 4$. Dagegen ist die Codewortlänge $n$ gleich der Anzahl der Spalten ⇒ Coderate $R = k/n = 4/7$.
Der Code ist systematisch, da die Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ mit einer $4 × 4$–Diagonalmatrix beginnt.
Es handelt sich um einen „normalen” Hammingcode. Für diesen gilt mit der Codewortlänge $n$ und der Anzahl der Prüfbits ⇒ $m = n - k$ der Zusammenhang $n = 2^m - 1$.
Im vorliegenden Fall handelt es sich um den Hammingcode (7, 4, 3). Der letzte Parameter in dieser Codebezeichnung gibt die freie Distanz an ⇒ $d_{\rm min} = 3$.

(2) Richtig sind die Aussagen 2, 3 und 4. Es handelt sich um einen verkürzten Hammingcode mit dem Parameter $n = 6, \ k = 3$ und $d_{\rm min} = 3$, ebenfalls in systematischer Form. Die Coderate beträgt $R = 1/2$.

(3) Die Grundstruktur des Produktcodes ist auf der ersten Theorieseite dargestellt. Man erkennt

den Informationsblock mit $k = k_1 \cdot k_2 = 4 \cdot 3 \ \underline{= 12} \ \rm Bit$, und
die Codewortlänge als die Gesamtzahl aller Bit: $n = n_1 \cdot n_2 = 7 \cdot 6 \ \underline{= 42}$.
Die Coderate ist somit $R = k/n = 12/42 = 2/7$. Oder: $R = R_1 \cdot R_2 = 4/7 \cdot 1/2 \underline{= 2/7} \approx 0.289$.
Die freie Distanz beträgt $d = d_1 \cdot d_2 = 3 \cdot 3 \underline{= 9}$.