Exercise 4.08: Repetition to the Convolutional Codes

Zustandsübergangsdiagramm eines nichtrekursiven Codes

Die Turbocodes basieren auf den Faltungscodes, die im Kapitel Grundlagen der Faltungscodierung auführlich behandelt werden.

Ausgehend von dem nebenstehenden Zustandsübergangsdiagramm sollen wesentliche Eigenschaften und Kenngrößen des betrachteten Rate–1/2–Faltungscodes ermittelt werden, wobei wir ausdrücklich auf folgende Theorieseiten verweisen:

Systematische Faltungscodes (1)

Darstellung im Zustandsübergangsdiagramm (1)

Definition der freien Distanz (1)

GF(2)–Beschreibungsformen eines Digitalen Filters (2)

Anwendung der $D$–Transformation auf Rate–1/n–Faltungscodes (2)

Im Zustandsübergangsdiagramm wird grundsätzlich vom Zustand $S_0$ ausgegangen. Von jedem Zustand gehen zwei Pfeile ab. Die Beschriftung lautet „$u_i | x_i^{(1)}x_i^{(2)}$”. Bei einem systematischen Code gilt dabei:

Das erste Codebit ist identisch mit dem Informationsbit: $\ x_i^{(1)} = u_i ∈ \{0, \, 1\}$
Das zweite Codebit ist das Prüfbit (Paritybit): $\ x_i^{(2)} = p_i ∈ \{0, \, 1\}$.

Hinweise:

Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Grundlegendes zu den Turbocodes.
Ähnliche Aufgaben finden Sie in den Kapiteln 3.1 bis 3.3. In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende semi–infinite Vektoren verwendet:
Informationssequenz $\ \underline{u} = (u_1, \, u_2, \, ...)$,
Paritysequenz $\ \underline{p} = (p_1, \, p_2, \, ...)$,
Impulsantwort $\ \underline{g} = (g_1, \, g_2, \, ...)$; diese ist gleich der Paritysequenz $\underline{p}$ für $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, ...)$.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) Die Impulsantwort $\underline{g}$ ist gleich der Ausgangsfolge $\underline{p}$ für die Eingangsfolge $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$. Ausgehend vom Zustand $S_0$ ergeben sich im Zustandsübergangsdiagramm folgende Übergänge:

$$S_0 → S_1 → S_2 → S_0 → S_0 → S_0 → \hspace{0.6cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} {\rm Impulsantwort} \text{:} \hspace{0.2cm} \underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0) \, .$$

Richtig ist der Lösungsvorschlag 2. Für ein nichtrekursives Filter mit Gedächtnis $m$ gilt $g_i ≡ 0$ für $i > m$. In unserem Beispiel ist $m = 2$. Der Lösungsvorschlag 1 gilt dagegen für das rekursive Filter (RSC) entsprechend der Aufgabe A4.9.

(2) Es sei $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, u_7)$ und $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$. Dann gilt für die Paritysequenz aufgrund der Linearität:

$$\underline{p} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0, \hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} u_7\hspace{0.05cm} ) * (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0 ,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...)= $$

$$\ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm})\oplus$$

$$\ \oplus \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm})\oplus$$

$$\ \oplus \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} u_7,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}u_7, \hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm})= $$

$$\ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} u_7,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}u_7, \hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.$$

(3)

(4)

(5)

	Es gilt $\underline{g} = (1, \, 1, \,1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, ...)$.
	Es gilt $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$.

	Die ersten sechs Bit der Paritysequenz sind „$1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1$”.
	Mit $u_7 = 0$ gilt $p_i = 0$ für $i > 6$.
	Mit $u_7 = 1$ gilt $p_i = 0$ für $i > 8$.

	Es gilt $\mathbf{G}(D) = [1, \ 1 + D]$.
	Es gilt $\mathbf{G}(D) = [1, \ 1 + D^2]$.
	Es gilt $\mathbf{G}(D) = [1 + D^2]$.

	Die ersten acht Bit der Parityfolge sind „$1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0$”.
	Die ersten acht Bit der Parityfolge sind „$1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1$”.
	Es gilt $p_i = 0$ für $i ≥ 9$.