Exercise 4.09: Recursive Systematic Convolutional Codes
In der Aufgabe A4.8 wurden bereits wichtige Eigenschaften von Faltungscodes aus dem Zustandsübergangsdiagramm abgeleitet, wobei von einer nichtrekursiven Filterstruktur ausgegangen wurde.
Nun wird ein Rate–1/2–RSC–Code in ähnlicher Weise behandelt. Hierbei steht „RSC” für „Recursive Systematic Convolutional”.
Die Übertragungsfunktionsmatrix eines RSC–Faltungscodes kann wie folgt angegeben werden:
- $${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \left [ 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} G^{(2)}(D)/G^{(1)}(D) \right ] \hspace{0.05cm}.$$
Ansonsten gelten hier die genau gleichen Voraussetzungen wie bei Aufgabe A4.8. Wir verweisen wieder auf folgende Theorieseiten:
Systematische Faltungscodes (1)
Darstellung im Zustandsübergangsdiagramm (1)
Definition der freien Distanz (1)
GF(2)–Beschreibungsformen eines Digitalen Filters (2)
Anwendung der $D$–Transformation auf Rate–1/n–Faltungscodes (2)
Filterstruktur bei gebrochen–rationaler Übertragungsfunktion
Im Zustandsübergangsdiagramm wird grundsätzlich vom Zustand $S_0$ ausgegangen. Von jedem Zustand gehen zwei Pfeile ab. Die Beschriftung lautet „$u_i | x_i^{(1)}x_i^{(2)}$”. Bei einem systematischen Code gilt dabei:
- Das erste Codebit ist identisch mit dem Informationsbit: $\hspace{0.2cm} x_i^{(1)} = u_i ∈ \{0, \, 1\}$.
- Das zweite Codebit ist das Prüfbit (Paritybit): $\hspace{0.2cm} x_i^{(2)} = p_i ∈ \{0, \, 1\}$.
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel ....
- Ähnliche Aufgaben finden Sie in den Kapiteln 3.1 bis 3.3.
- In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende vektoriellen Größen verwendet:
- Informationssequenz: $\hspace{0.2cm} \underline{u} = (u_1, \, u_2, \, ...)$,
- Paritysequenz: $\hspace{0.2cm} \underline{p} = (p_1, \, p_2, \, ...)$,
- Impulsantwort: $\hspace{0.2cm} \underline{g} = (g_1, \, g_2, \, ...) \hspace{0.2cm}$; diese ist gleich der Paritysequenz $\underline{p}$ für $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, ...)$.
Fragebogen
Musterlösung
