Exercise 4.11: Analysis of Parity-check Matrices

Produktcode und dessen Beschreibung durch die Prüfmatrix

In nebenstehender Grafik ist oben ein Produktcode angegeben, der durch folgende Prüfgleichungen gekennzeichnet ist:

$$p_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_2 = u_3 \oplus u_4\hspace{0.05cm},$$

$$p_3 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_3\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_4 = u_2 \oplus u_4\hspace{0.05cm}.$$

Darunter sind die Prüfmatrizen $\mathbf{H}_1, \ \mathbf{H}_2$ und $\mathbf{H}_3$ angegeben. Zu prüfen ist, welche der Matrizen den gegebenen Produktcode entsprechend der Gleichung $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{H}^{\rm T}$ richtig beschreiben, wenn von folgenden Definitionen ausgegangen wird:

dem Codewort $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$,
dem Codewort $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.

Alle $\mathbf{H}$–Matrizen beinhalten weniger Einsen als Nullen. Dies ist ein Kennzeichen der so genannten Low–density Parity–check Codes (kurz: LDPC–Codes). Bei den praxisrelevanten LDPC–Codes ist der Einsen–Anteil allerdings noch geringer als bei diesen Beispielen.

Weiterhin ist für die Aufgabe anzumerken:

Ein $(n, \ k)$–Blockcode ist systematisch, wenn die ersten $k \ \rm Bit$ des Codewortes das Informationswort $\underline{u}$ beinhaltet. Mit der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ muss dann die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ mit einer $k × k$–Diagonalmatrix enden.
Ein regulärer Code (hinsichtlich LDPC–Anwendung) liegt vor, wenn das Hamming–Gewicht aller Zeilen ⇒ $w_{\rm Z}$ und das Hamming–Gewicht aller Spalten ⇒ $w_{\rm S}$ jeweils gleich ist. Andernfalls spricht man von einem irregulären LDPC–Code.
Die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ eines herkömmlichen linearen $(n, \ k)$–Blockcodes besteht aus exakt $m = n - k$ Zeilen und $n$ Spalten. Bei den LDPC–Codes lautet dagegen die Forderung: $m ≥ n - k$. Das Gleichheitszeichen trifft dann zu, wenn die $m$ Prüfgleichungen statistisch unabhängig sind.
Aus der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ lässt sich eine untere Schranke für die Coderate $R$ angeben:

$$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]} \hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} {\rm E}[w_{\rm S}] =\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n}w_{\rm S}(i) \hspace{0.5cm}{\rm und}\hspace{0.5cm} {\rm E}[w_{\rm Z}] =\frac{1}{m} \cdot \sum_{j = 1}^{ m}w_{\rm Z}(j) \hspace{0.05cm}.$$

Diese Gleichung gilt für reguläre und irreguläre LDPC–Codes gleichermaßen, wobei den regulären Codes ${\rm E}[w_{\rm S}] = w_{\rm S}$ und ${\rm E}[w_{\rm Z}] = w_{\rm Z}$ berücksichtigt werden kann.

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Grundlegendes zu den Low–density Parity–check

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) Mit der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ bezeichnet die Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$ folgende Prüfgleichungen:

$$u_1 \oplus u_2 \oplus p_1 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} u_3 \oplus u_4 \oplus p_2 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} u_1 \oplus u_3 \oplus p_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} u_2 \oplus u_4 \oplus p_4 = 0\hspace{0.05cm}.$$

Dies entspricht genau den vorne getroffenen Annahmen. Das gleiche Ergebnis erhält man für $\mathbf{H}_2$ und der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$ ⇒ Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3.

Dagegen liefern bei gleicher Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$ die beiden anderen Prüfmatrizen keinen sinnvollen Gleichungssatz.

Entsprechend Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$:

$$u_1 \oplus p_1 \oplus u_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} u_2 \oplus p_2 \oplus p_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} u_1 \oplus u_2 \oplus u_4 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_1 \oplus p_2 \oplus p_4 = 0\hspace{0.05cm},$$

entsprechend Prüfmatrix $\mathbf{H}_3$:

$$u_1 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_2 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} u_3 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_4 \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} u_1 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_2 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_3 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm}u_4 \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} p_1 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} u_2 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} u_3 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm}u_4 \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} p_1 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} u_2 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_3 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_4 \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} 0\hspace{0.05cm}.$$

(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

Der Code ist systematisch, weil $\mathbf{H}_1$ mit einer $4 × 4$–Diagonalmatrix endet.
Bei einem regulären (LDPC)–Code müssten in jeder Zeile und in jeder Spalte gleich viele Einsen sein. Die erste Bedingung ist erfüllt $(w_{\rm Z} = 3)$, nicht aber die zweite. Vielmehr gibt es (gleich oft) eine Eins bzw. zwei Einsen pro Spalte ⇒ ${\rm E}[w_{\rm S}] = 1.5%. * Bei einem irregulären Code lautet die untere Schranke für die Coderate: :'"`UNIQ-MathJax29-QINU`"' * Wegen der gegebenen Codestruktur ($k = 4$ Informationsbits, $m = 4$ Prüfbits ⇒ $n = 8$ Codebits) ist hier die Coderate auch in der herkömmlichen Form angebbar: $R = k/n$ ⇒ Richtig ist der Lösungsvorschlag 4 im Gegensatz zur Antwort 3. '''(3)''' Die $\mathbf{H}_3$–Zeilen ergeben sich aus Linearkombinationen von $\mathbf{H}_1$–Zeilen: * Die erste $\mathbf{H}_3$–Zeile ist die Summe von Zeile 1 und Zeile 4. * Die zweite $\mathbf{H}_3$–Zeile ist die Summe von Zeile 2 und Zeile 3. * Die dritte $\mathbf{H}_3$–Zeile ist die Summe von Zeile 1 und Zeile 3. * Die vierte $\mathbf{H}_3$–Zeile ist die Summe von Zeile 2 und Zeile 4. Durch Linearkombinationen werden aus den vier linear unabhängigen Gleichungen bezüglich $\mathbf{H}_1$ nun vier linear unabhängige Gleichungen bezüglich $\mathbf{H}_3$. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 2 und 3. '''(4)''' Hier sind die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4 richtig: * Wäre der durch $\mathbf{H}_3$ beschriebene Code systematisch, müsste $\mathbf{H}_3$ mit einer $4 &times 4$–Diagonalmatrix enden. Dies ist hier nicht der Fall. * Die Hamming–Gewichte aller Zeilen sind gleich $(w_{\rm Z} = 4)$ und auch alle Spalten haben jeweils das gleiche Hamming–Gewicht $(w_{\rm S} = 2)$ ⇒ der Code ist regulär. * Daraus ergibt sich für die Coderate $R ≥ 1 - 2/4 = 1/2$. Da aber auch die vier Zeilen von $\mathbf{H}_3$ vier unabhängige Gleichungen beschreiben, gilt ebenfalls das Gleichheitszeichen ⇒ $R = 1/2$.

	$\mathbf{H}_1$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$.
	$\mathbf{H}_1$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.
	$\mathbf{H}_2$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.
	$\mathbf{H}_3$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.

	Der Code ist systematisch.
	Der Code ist regulär.
	Für die Coderate gilt $R > 1/2$.
	Für die Coderate gilt $R = 1/2$.

	Der Code ist systematisch.
	Der Code ist regulär.
	Für die Coderate gilt $R ≥ 1/2$.
	Die Coderate ist $R = 1/2$.

	Es ist kein Zusammenhang zwischen $\mathbf{H}_1$ und $\mathbf{H}_3$ erkennbar.
	$\mathbf{H}_3$–Zeilen sind Linearkombinationen von je zwei $\mathbf{H}_1$–Zeilen.
	Die vier Prüfgleichungen gemäß $\mathbf{H}_3$ sind linear unabhängig.