Exercise 2.4Z: Finite and Infinite Fields

Einige Pioniere der Mathematik

In der Mathematik unterscheidet man verschiedene Zahlenmengen:

die Menge der natürlichen Zahlen: $N = \{0, \, 1, \, 2, \, ...\}$,
die Menge der ganzen Zahlen: $Z = \{..., \, -1, \, 0, \, +1, \, ...\}$,
die Menge der rationalen Zahlen: $Q = \{m/n\}$ mit $m ∈ Z, \ n ∈ Z \, \backslash \, \{0\}$,
die Menge $R$ der reellen Zahlen,
die Menge der komplexen Zahlen: $C = \{a + {\rm j} \cdot b\}$ mit $a ∈ R, \ b ∈ R$ und der imaginären Einheit $\rm j$.

Eine solche Menge (englisch: Set) bezeichnet man dann (und nur dann) als einen Körper (englisch: Field) im algebraischen Sinne, wenn in ihr die vier Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division erlaubt und die Ergebnisse im gleichen Körper darstellbar sind. Einige diesbezügliche Definitionen finden Sie im Theorieteil. Soviel vorneweg: Nicht alle der oben aufgelisteten Mengen sind Körper.

Daneben gibt es auch noch endliche Körper (englisch: Finite Fields), die in unserem Lerntutorial als Galoisfeld ${\rm GF}(P^m)$ bezeichnet werden, wobei

$P ∈ N$ eine Primzahl angibt,
und $m ∈ N$ eine natürliche Zahl bezeichnet.

Ist der Exponent $m ≥ 2$, so spricht man von einem Erweiterungskörper (englisch: Extension Field). In dieser Aufgabe beschränken wir uns auf Erweiterungskörper zur Basis $P = 2$.

Die beiden ersten Teilaufgaben beziehen sich auf die Klassifizierung von Polynomen. Ein Grad–$m$–Polynom nennt man reduzibel im Körper $K$, wenn es in der Form

$$p(x)= \prod_{i = 1}^m (x-x_i) = (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot ... \cdot (x - x_m) $$

darstellbar ist und für alle Nullstellen $x_i ∈ K$ gilt. Ist dies nicht möglich, so spricht man von einem irreduziblen Polynom.

Hinweise:

Die Aufgabe bezieht sich auf die Thematik des Kapitels Erweiterungskörper.
Oben sehen Sie Abbildungen der italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano sowie Rafael Bombelli, die erstmals imaginäre Zahlen zur Lösung algebraischer Gleichungen einführten, sowie von Évariste Galois, der schon in sehr jungen Jahren die Grundlagen der endlichen Körper geschaffen hat.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) (2) (3) (4) (5)

	$p_1(x) = x^2 + 1$.
	$p_2(x) = x^2 - 1$,
	$p_3(x) = x^2 + x + 1$,
	$p_4(x) = x^2 + x - 2$.

	$p_1(x) = x^2 + 1$,
	$p_2(x) = x^2 - 1$,
	$p_3(x) = x^2 + x + 1$,
	$p_4(x) = x^2 + x - 2$.

	die Menge $N$ der natürlichen Zahlen,
	die Menge $Z$ der ganzen Zahlen,
	die Menge $Q$ der rationalen Zahlen,
	die Menge $R$ der reellen Zahlen,
	die Menge $C$ der komplexen Zahlen.

	$Q ⊂ C$,
	$C ⊂ R$,
	${\rm GF}(2) ⊂ {\rm GF}(2^2)$,
	${\rm GF}(2^3) ⊂ {\rm GF}(2^2)$.

	Menge $Q$ der rationalen Zahlen und ${\rm GF}(2^2)$,
	Menge $C$ der komplexen Zahlen und ${\rm GF}(2^2)$,
	Menge $C$ der komplexen Zahlen und ${\rm GF}(2^3)$.