Exercise 2.3Z: Polynomial Division

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Zur Multiplikation und Division von $\rm GF(2)$–Polynomen

In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Multiplikation und insbesondere der Division von Polynomen im Galoisfeld $\rm GF(2)$. In der Abbildung ist jeweils die Vorgehensweise an einem einfachen und selbsterklärenden Beispiel verdeutlicht:

• Die Multiplikation der beiden Polynome $x^2 + 1$ und $x +1$ liefert das Ergebnis $a(x) = x^3 + x^2 + x + 1$.
• Die Division des Polynoms $a(x) = x^3$ durch $p(x) = x + 1$ liefert den Quotienten $q(x) = x^2 + x$ und den Rest $r(x) = x$.
• Man kann das letztere Ergebnis wie folgt überprüfen:

$$a(x) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} p(x) \cdot q(x) + r(x)\hspace{0.05cm}=$$

$$\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}[(x+1) \cdot (x^2+x)] +x =$$

$$\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}[x^3+ x^2+x^2+ x] +x = x^3\hspace{0.05cm}.$$

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Erweiterungskörper.

Fragebogen

1

Welches Ergebnis liefert $a(x) = (x^3 + x + 1) \cdot (x^2 + 1)$?

	$a(x) = x^5 + x^3 + x^2 + 1$,
	$a(x) = x^5 + x^2 + x + 1$.
	$a(x) = x^6 + x^3 + x^2 + 1$-

2

Welche der Polynomdivisionen ergeben keinen Rest $r(x)$?

	$(x^5 + x^2 + x + 1)/(x^3 + x + 1)$.
	$(x^5 + x^2 + x + 1)/(x^2 + 1)$,
	$(x^5 + x^2 + x + 1)/(x^2)$,
	$(x^5 + x^2 + x)/(x^2 + 1)$.

3

Es sei $a(x) = x^6 + x^5 + 1$ und $p(x) = x^3 + x^2 + 1$. Bestimmen Sie $q(x)$ und $r(x)$ entsprechend der Beschreibungsgleichung $a(x) = p(x) \cdot q(x) + r(x)$.

	$q(x) = x^3 + x^2 + 1, \hspace{0.2cm} r(x) = 0$,
	$q(x) = x^3 + 1, \hspace{0.2cm} r(x) = 0$,
	$q(x) = x^3 + 1, \hspace{0.2cm} r(x) = x^2$.

Musterlösung

Solution

(1)  Die Modulo–2–Multiplikation der beiden Polynome führt zum Ergebnis

$$a(x) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (x^3+ x+1) \cdot (x^2+1)=$$

$$\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} x^5+x^3+ x^2+ x^3+x+1 = x^5+ x^2+x+1\hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist somit der Lösungsvorschlag 2. Der letzte Lösungsvorschlag kann schon alleine deshalb nicht simmen, da der Grad des Produktpolynoms $≠ 5$ wäre.

(2)  Mit den Abkürzungen

$$a(x) = x^5+ x^2+x+1\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}p(x) = x^3+ x+1\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}q(x) = x^2+ 1$$

und dem Ergebnis aus der Teilaufgabe (1) erhält man $a(x) = p(x) \cdot q(x)$. Das heißt: Die Divisionen $a(x)/p(x)$ und $a(x)/q(x)$ sind restfrei möglich  ⇒  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2. Auch ohne Rechnung erkennt man, dass $a(x)/x^2$ einen Rest ergeben muss. Nach Rechnung ergibt sich explizit:

$$(x^5 + x^2+x+1)/(x^2) = x^3 + 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}{\rm Rest}\hspace{0.15cm} r(x) = x+1\hspace{0.05cm}.$$

Beispiel 1 zur Polynomdivision

Zum letzten Lösungsvorschlag. Wir verwenden zur Abkürzung $b(x) = x^5 + x^2 + x = a(x) + 1$. Damit ist der vorgegebene Quotient:

$$b(x)/q(x) = a(x)/q(x) + 1/q(x) \hspace{0.05cm}.$$

Der erste Quotient $a(x)/q(x)$ ergibt entsprechend der Teilaufgabe (2) genau $p(x)$ ohne Rest, der zweite Quotient $0$ mit Rest $1$. Somit ist hier der Rest des Quotienten $b(x)/q(x)$ gleich $r(x) = 1$, wie auch die nebenstehende Rechnung zeigt.

(3)  Die Polynomdivision ist nachfolgend ausführlich erläutert. Richtig ist der Lösungsvorschlag 3.

Beispiel 2 zur Polynomdivision