Exercise 2.11: Reed-Solomon Decoding according to "Erasures"

${\rm GF}(2^3)$ in Potenz–, Polynom– u. Koeffizientenvektordarstellung

Wir betrachten hier ein Codier– und Decodiersystem entsprechend der Grafik im Theorieteil zu diesem Kapitel. Anzumerken ist:

Der Reed–Solomon–Code ist durch die Generatormatrix $\mathbf{G}$ und die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ vorgegeben, wobei alle Elemente aus dem Galoisfeld $\rm GF(2^3) \ \backslash \ \{0\}$ stammen:

$${ \boldsymbol{\rm G}} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 & \alpha^5 & \alpha^6\\ 1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^{3} & \alpha^{5}\\ 1 & \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^{5} & \alpha^{1} & \alpha^{4} \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$

$${ \boldsymbol{\rm H}} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \begin{pmatrix} 1 & \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 & \alpha^5 & \alpha^6\\ 1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^{3} & \alpha^{5}\\ 1 & \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^{5} & \alpha^{1} & \alpha^{4} \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

Alle Codesymbole $c_i ∈ \{0, \, 1, \, \alpha, \, \alpha^2, \, \alpha^3, \, \alpha^4, \, \alpha^5, \, \alpha^6\}$ werden durch $m = 3 \ \rm Bit$ dargestellt und über den grün hinterlegten Auslöschungskanal ($m$–BEC) übertragen. Ein Codesymbol wird bereits dann als Auslöschung (Erasure) E markiert, wenn eines der drei zugehörigen Bit unsicher ist.
Der Codewortfinder (CWF) hat die Aufgabe, aus dem teilweise ausgelöschten Empfangswort $\underline{y}$ das regenerierte Codewort $\underline{z}$ zu erzeugen. Dabei muss sicher gestellt sein, dass das Ergebnis $\underline{z}$ tatsächlich ein gültiges Reed–Solomon–Codewort ist.
Beinhaltet das Empfangswort $\underline{y}$ zu viele Auslöschungen, so gibt der Decoder eine Meldung der Art „Symbol ist nicht decodierbar” aus. Es wird also nicht versucht, das Codewort zu schätzen. Wird $\underline{z}$ ausgegeben, so ist dieses auch richtig: $\underline{z} = \underline{c}$.
Das gesuchte Informationswert $\underline{\upsilon} = \underline{u}$ ergibt sich durch die inverse Coderfunktion $\underline{\upsilon} = {\rm enc}^{-1}(\underline{z})$. Mit der Generatormatrix $\mathbf{G}$ lässt sich diese wie folgt realisieren:

$$\underline{c} = {\rm enc}(\underline{u}) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \underline{u} \cdot {\boldsymbol{\rm G}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{z} = {\rm enc}(\underline{\upsilon}) = \underline{\upsilon} \cdot {\boldsymbol{\rm G}}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{\upsilon} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm enc}^{-1}(\underline{z}) = \underline{z} \cdot {\boldsymbol{\rm G}}^{\rm T}\hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Reed–Solomon–Decodierung beim Auslöschungskanal.
Hinsichtlich des Codewortfinders verweisen wir insbesondere auf die Seiten Vorgehensweise und Lösung der Matrixgleichungen

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) (2) (3) (4) (5)

	correct
	false