Exercise 2.4: DSL/DMT with IDFT/DFT

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Zeitabtastwerte bei 3 verschiedenen DMT-Spektralbelegungen

Eine Realisierungsform des DMT–Verfahrens (steht für Discrete Multitone Transmission) basiert auf der Inversen Diskreten Fouriertransformation (IDFT) sowie der DFT am Empfänger.

Beim Sender werden $N/2–1$ Nutzer durch die komplexen Spektralkoeffizienten $D_{k} (k = 1, ..., N/2–1)$ den Frequenzen $f_{k} = k \cdot f_{0}$ zugewiesen, wobei die Grundfrequenz $f_{0}$ der Kehrwert der Symboldauer $T$ ist.

Es gilt $D_{k} \in {±1 ± j}$, falls ein Kanal belegt ist, im anderen Fall $D_{k} = 0$. Die Koeffizienten $D_{0}$ und $D_{N/2}$ sind stets 0. Die obersten Koeffizienten werden konjugiert–komplex belegt:

$$D_k = D_{N-k}^{\star},\hspace{0.2cm}k = N/2 +1,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}, N-1 \hspace{0.05cm}.$$

Dadurch wird sicher gestellt, dass das Zeitsignal $s(t)$ stets reell ist. Die Abtastwerte $s_{0}, ... , s_{N–1}$ dieses Signals werden dabei durch die IDFT gebildet, wobei der zeitliche Abstand zweier Abtastwerte $\Delta t = T/N = 1/(N \cdot f_{0})$ beträgt. Durch Tiefpassfilterung erhält man das zeitkontinuierliche Signal.

Bei ADSL/DMT gilt $N = 512$ und $f_{0} = 4.3125 \ \rm kHz$. In dem hier betrachteten Beispiel seien die Parameter zur Vereinfachung wie folgt angenommen:

$$N = 16,\hspace{0.2cm}\Delta t = 10\,{\rm \mu s} \hspace{0.05cm}.$$

In der obigen Tabelle sind für drei verschiedene $D_{k}$–Belegungen die Abtastwerte $s_{l} (l = 0, ... , 15)$ nach der IDFT angegeben. Gesucht sind die zugehörigen Spektralkoeffizienten $D_{k} (k = 0, ... , 15).$

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel xDSL als Übertragungstechnik. Das Sendesignal hat bei DSL die Form

$$s(t) = \sum_{k = 1}^{K} \left [ 2 \cdot {\rm Re}\{D_k\} \cdot \cos(2\pi \cdot k f_0 \cdot t ) - 2 \cdot {\rm Im}\{D_k\} \cdot \sin(2\pi \cdot k f_0 \cdot t )\right ] \hspace{0.05cm}.$$

Beachten Sie auch die folgende trigonometrische Beziehung:

$$\cos(2\pi f_0 t + \phi_0) = \cos( \phi_0) \cdot \cos(2\pi f_0 t ) - \sin( \phi_0) \cdot \sin(2\pi f_0 t ) \hspace{0.05cm}.$$

Man bezeichnet als den Crestfaktor (oder den Scheitelfaktor) eines Signals das Verhältnis von Maximalwert und Effektivwert.

Hinweis:

Ihre Lösung können Sie mit dem folgenden Flash–Modul überprüfen:

Diskrete Fouriertransformation

Fragebogen

1

Wieviele Nutzer $(K)$ können mit diesem System versorgt werden?

$K \ = \ $

2

Wie groß ist die Bandbreite $B$ des betrachteten DMT–Systems?

$B \ = \ $ $\ \rm kHz$

3

Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei Belegung $\boldsymbol{\rm A}$?

	$D_{1} = 1 – \rm j, \ alle \ anderen \ 0,$
	$D_{1} = 1 + {\rm j}, D_{15} = 1 – \rm j, \ alle \ anderen \ 0,$
	$D_{1} = 1 + {\rm j}, D_{15} = 1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0.$

4

Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei Belegung $\boldsymbol{\rm B}$?

	$D_{2} = –1 – {\rm j}, D_{14} = –1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0$,
	$D_{3} = 1 – {\rm j}, D_{13} = 1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0$,
	$D_{3} = –1 – {\rm j}, D_{13} = –1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0$.

5

Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei Belegung $\boldsymbol{\rm C}$ mit $(\boldsymbol{\rm C}) = (\boldsymbol{\rm A}) + (\boldsymbol{\rm B})?$

	$D_{1} = 1 + {\rm j}, \ D_{3} = –1 –{\rm j}, \ D_{13} = –1 +{\rm j}, \ D_{15} = 1 – {\rm j}$,
	$D_{k} = (–1)^k + {\rm j} \cdot (–1)^{k+1}$.

6

Wie groß ist der Crestfaktor (CF) bei der Belegung $C$?

$\rm Belegung \ C: \ CF \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Das System ist für $K = N/2 – 1 \underline{= 7 {\rm Nutzer}}$ ausgelegt $(N = 16)$.

(2) 

(3) 

(4) 

(5) 

(6) 

(7) 

(8)