Exercise 2.16: Bounded Distance Decoding: Decision Regions
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Wir gehen von einem Blockcode der Länge $n$ mit Symbolen $c_i ∈ {\rm GF}(2^m)$ aus, der bis zu $t$ Symbole korrigieren kann. Jedes mögliche Empfangswort $\underline{y}_i$ kann dann als ein Punkt in einem hochdimensionalen Raum angesehen werden. Geht man von der Basis ${\rm GF}(2) = \{0, \, 1\}$ aus, so beträgt die Dimension $n \cdot m$.
Die Grafik zeigt einen solchen Raum in stark vereinfachender 2D–Darstellung. Die Abbildung ist wie folgt zu interpretieren:
- Gesendet wurde der rote Punkt $\underline{c}_j$. Alle rot umrandeten Punkte $\underline{y}_i$ in einer Hyperkugel um diesen Punkt $\underline{c}_j$ mit dem Parameter $t$ als Radius können korrigiert werden. Mit der Nomenklatur gemäß der Grafik im Theorieteil gilt dann $\underline{z}_i = \underline{c}_j$ ͡ „Die Fehlerkorrektur ist erfolgreich&rdquo.
- Bei sehr vielen Symbolfehlern kann $\underline{c}_j$ in einen blauen (oder weißblauen) Punkt $\underline{y}_j$ verfälscht werden, der zur Hyperkugel eines anderen Codewortes $\underline{c}_{k ≠ j}$ gehört. In diesem Fall trifft der Decoder eine falsche Entscheidung ⇒ „Das Empfangswort $\underline{y}_j$ wird falsch decodiert”.
- Schließlich kann es wie in der unteren Skizze auch noch gelbe Punkte geben, die zu keiner Hyperkugel gehören ⇒ „Das Empfangswort $\underline{y}_j$ ist nicht decodierbar”.
In dieser Aufgabe sollen Sie entscheiden, welches der beiden Coderaumschemata geeignet ist zur Beschreibung der
Hinweis:
- Die Aufgabe ergänzt die Thematik des Kapitels Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete und soll signifikante Unterschiede bei der Decodierung von Reed–Solomon–Codes und Hamming–Codes verdeutlichen.
Fragebogen
Musterlösung
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