Exercise 1.16: Block Error Probability Bounds for AWGN

Funktion ${\rm Q}(x)$ und Näherungen

Wir gehen von der folgenden Konstellation aus:

ein linearer Blockcode mit der Coderate $R = k/n$ und dem Distanzspektrum $\{W_i\}, \ i = 1, \ ... \ , n$,
ein AWGN–Kanal, gekennzeichnet durch „$E_{\rm B}/N_{0}$” ⇒ umrechenbar in die Rauschleistung $\sigma^2$,
ein Empfänger, basierend auf Soft Decision sowie dem Maximum–Likelihood–Kriterium.

Unter der für die gesamte Aufgabe gültigen Annahme, dass stets das Nullwort $\underline{x}_{1} = (0, 0, ... , 0)$ gesendet wird, gilt für die „paarweise Fehlerwahrscheinlichkeit” mit einem anderen Codewort $\underline{x}_{l} (l = 2, ... , 2^k):$

$$ {\rm Pr}[\hspace{0.05cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l}\hspace{0.05cm}] = {\rm Q}\left ( \sqrt{w_{\rm H}(\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l})/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm}.$$

Die Herleitung dieser Beziehung finden Sie in [Liv10]. In dieser Gleichung wurden verwendet:

die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion ${\rm Q}(x)$,
das Hamming–Gewicht $w_{\rm H}(\underline{x}_{l})$ des Codewortes $\underline{x}_{l}$,
die AWGN–Rauschleistung $\sigma^2 = (2 · R · E_{\rm B}/N_{0})^{–1}.$

Damit lassen sich verschiedene Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit angeben:

die sogenannte Union Bound:

$$p_1 = \sum_{l = 2}^{2^k}\hspace{0.05cm}{\rm Pr}[\hspace{0.05cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l}\hspace{0.05cm}] = \sum_{l = 2}^{2^k}\hspace{0.05cm}{\rm Q}\left ( \sqrt{w_{\rm H}(\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l})/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm},$$

die so genannte Truncated Union Bound (TUB):

$$p_2 = W_{d_{\rm min}} \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{d_{\rm min}/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm},$$

die Bhattacharyya–Schranke:

$$p_3 = W(\beta) - 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm mit}\hspace{0.15cm} \beta = {\rm exp}\left [ - 1/(2\sigma^2) \right ] \hspace{0.05cm}.$$

In diesem Fall ist das Distanzspektrum $\{W_i\}$ durch die Gewichtsfunktion zu ersetzen:

$$\left \{ \hspace{0.05cm} W_i \hspace{0.05cm} \right \} \hspace{0.3cm} \Leftrightarrow \hspace{0.3cm} W(X) = \sum_{i=0 }^{n} W_i \cdot X^{i} = W_0 + W_1 \cdot X + W_2 \cdot X^{2} + ... \hspace{0.05cm} + W_n \cdot X^{n}\hspace{0.05cm}.$$

Beim Übergang von der Union Bound $p_{1}$ zur Schranke $p_{3}$ wird unter Anderem die Funktion ${\rm Q}(x)$ durch die Chernoff–Rubin–Schranke ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ ersetzt. Beide Funktionen sind in obigerer Grafik dargestellt (rote bzw. grüne Kurve).

In der Aufgabe 1.16Z wird der Zusammenhang zwischen diesen Funktionen numerisch ausgewertet und Bezug genommen zu den Schranken ${\rm Q}_{o}(x)$ und ${\rm Q}_{u}(x)$, die in obiger Grafik ebenfalls eingezeichnet sind.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Weiter verweisen wir auf folgendes Flash–Modul:

Komplimentäre Gaußsche Fehlerfunktion (Dateigröße: 235 kB)

Fragebogen

	$p_{1} = \sum_{l=2}^{2^k} W_{l} · {\rm Q}[(l/\sigma^2)^{0.5}],$
	$p_{1} = \sum_{i=1}^{n} $W_{i} · {\rm Q}[(i/\sigma^2)^{0.5}],$

$(8, 4, 4)–{\rm Code}, \ \sigma = 1 \text{:} \hspace{0.2cm} p_{1} \ = \ $

$\sigma = 0.5 \text{:} \hspace{0.2cm} p_{1} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-3} $

$(8, 4, 4)–{\rm Code}, \ \sigma = 1 \text{:} \hspace{:} p_{2} \ = \ $ {0.3192 3% }

$\sigma = 0.5 \text{:} \hspace{0.2cm} p_{2} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-3} $

	Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist nie größer als $p_{1}$.
	Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist nie größer als $p_{2}$.

	die Fehlerfunktion ${\rm Q}(x)$ durch die Funktion ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ ersetzt,
	den Bhattacharyya–Parameter $\beta = 1/\sigma$ setzt,
	statt { $W_{i}$ } die Gewichtsfunktion $W(X)$ verwendet.

$\ (8, 4, 4)–Code, \sigma = 1: p_{3} \ = \ $

$\ \sigma = 0.5: \ \ \ p_{3} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-2} $

Musterlösung

Solution

(1) Richtig ist Antwort 2. Das Distanzspektrum { $W_{i}$ } ist definiert für $i = 0, ... , n$:

$W_{1}$ gibt an, wie oft das Hamming–Gewicht $w_{\rm H}(\underline{x}_{i}) = 1$ auftritt.
$W_{n}$ gibt an, wie oft das Hamming–Gewicht $w_{\rm H}(\underline{x}_{i}) = n$ auftritt.

Damit lautet die Union Bound:

$$p_1 = {\rm Pr(Union \hspace{0.15cm}Bound)}= \sum_{i = 1}^{n}\hspace{0.05cm}W_i \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{i/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm}.$$

(2) Das Distanzspektrum des (8, 4, 4)–Codes wurde mit $W_{0} = 1 , W_{4} = 14, W_{8} = 1$ angegeben. Somit erhält man für $\boldsymbol{\sigma = 1}$:

bzw. für $\boldsymbol{\sigma = 0.5}$:

(3) Mit der Minimaldistanz $d_{\rm min} = 4$ erhält man:

$$\sigma = 1.0: \hspace{0.2cm} p_2 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} W_4 \cdot {\rm Q}\left ( 2 \right ) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.3192}\hspace{0.05cm},$$

$$\sigma = 0.5: \hspace{0.2cm} p_2 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm}W_4 \cdot {\rm Q}\left ( 4 \right ) \approx p_1 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.444 \cdot 10^{-3}}\hspace{0.05cm}.$$

(4) Richtig ist Antwort 1. Die Union Bound – hier mit $p_{1}$ bezeichnet – ist in jedem Fall eine obere Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit. Für die Schranke $p_{2}$ (Truncated Union Bound) trifft das nicht immer zu. Beispielsweise erhält man beim (7, 4, 3)–Hamming–Code ⇒ $W_{3} = W_{4} = 7, W_{7} = 1$ und der Streuung $\sigma = 1:$

$$p_2 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{3} \right ) = 7 \cdot 4.18 \cdot 10^{-2} \approx 0.293\hspace{0.05cm},$$

$$p_1 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} p_2 + 7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{4} \right )+ 1 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{7} \right ) \approx 0.455 \hspace{0.05cm}.$$

Die tatsächliche Blockfehlerwahrscheinlichkeit wird wahrscheinlich zwischen $p_{2} = 0.293$ und $p_{1} = 0.455$ liegen (wurde nicht nachgeprüft). Das heißt: $p_{2}$ ist keine obere Schranke.

(5) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3, wie die folgende Rechnung für den (8, 4, 4)–Code zeigt:

Es gilt Q(x) ≤ QCR(x) = exp(– x2/2). Damit kann für die Union Bound

$$p_1 = W_4 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{4/\sigma^2} \right ) +W_8 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{8/\sigma^2} \right )$$

eine weitere obere Schranke angegeben werden:

$$p_1 \le W_4 \cdot {\rm exp}\left [ - {4}/(2 \sigma^2) \right ] +W_8 \cdot {\rm exp}\left [ - {8}/(2 \sigma^2) \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Mit $\beta = {\rm exp}[–1/(2\sigma^2)]$ kann hierfür auch geschrieben werden (das vorgegebene $\beta = 1/\sigma$ ist also falsch):

$$p_1 \le W_4 \cdot \beta^4 + W_8 \cdot \beta^8 \hspace{0.05cm}.$$

Die Gewichtsfunktion des (8, 4, 4)–Codes lautet:

$$W(X) = 1 + W_4 \cdot X^4 + W_8 \cdot X^8 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} W(\beta) - 1 = W_4 \cdot \beta^4 + W_8 \cdot \beta^8$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_3 = W(\beta) - 1 \ge p_1\hspace{0.05cm}.$$

(6) Mit $\boldsymbol{\sigma = 1}$ lautet der Bhattacharyya–Parameter $\beta = {\rm exp}(–0.5) = 0.6065$ und man erhält damit für die Bhattacharyya–Schranke:

$$p_3 = 14 \cdot \beta^4 + \beta^8 = 14 \cdot 0.135 + 0.018 \hspace{0.15cm}\underline{= 1.913}\hspace{0.05cm}.$$

Berücksichtigt man, dass $p_{3}$(eine Schranke für) eine Wahrscheinlichkeit angibt, so ist $p_{3} = 1.913$ nur eine triviale Schranke. Für $\boldsymbol{\sigma = 0.5}$ ergibt sich dagegen $\beta = {\rm exp}(–2) \approx 0.135.$ Dann gilt:

$$p_3 = 14 \cdot \beta^4 + \beta^8 = 14 \cdot 3.35 \cdot 10^{-4} + 1.1 \cdot 10^{-7} \hspace{0.15cm}\underline{= 4.7 \cdot 10^{-3}}\hspace{0.05cm}.$$

Ein Vergleich mit der Teilaufgabe 2) zeigt, dass im vorliegenden Beispiel die Bhattacharyya–Schranke $p_{3}$ um den Faktor $(4.7 · 10^{–3})/(0.44 · 10^{–3}) > 10$ oberhalb der Union Bound $p_{1}$ liegt. Der Grund für diese große Abweichung ist die Chernoff–Rubin–Schranke, die deutlich oberhalb der Q–Funktion liegt. In der Aufgabe 1.16Z wird die Abweichung zwischen ${\rm Q}_{\rm CR}$ und ${\rm Q}(x)$ auch quantitativ berechnet:

$${{\rm Q_{CR}}( x )}/{{\rm Q}( x )} \approx 2.5 \cdot x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {{\rm Q_{CR}}( x = 4 )}/{{\rm Q}( x = 4)} \approx 10 \hspace{0.05cm}.$$