Exercise 2.4: Distortion Factor and Distortion Power
Zum Test eines Nachrichtenübertragungssystems wird an seinen Eingang ein Cosinussignal $$x_1(t) = A_x \cdot \cos(\omega_0 t)$$
mit der Amplitude $A_x = 1 \ \rm V$ angelegt. Am Systemausgang tritt dann das folgende Signal auf: $$y_1(t) = {0.992 \,\rm V} \cdot \cos(\omega_0 t) - {0.062 \,\rm V} \cdot \cos(2\omega_0 t)+ \hspace{0.05cm}...$$
- In der oberen Grafik sind die Signale $x_1(t)$ und $y_1(t)$ dargestellt. Oberwellen mit Amplituden kleiner als $10 \ \rm mV$ sind hierbei nicht berücksichtigt.
- Das untere Bild zeigt das Eingangssignal $x_2(t)$ mit der Ampiltude $A_x = 2 \ \rm V$ sowie das dazugehörige Ausgangssignal, wiederum ohne Oberwellen kleiner als $10 \ \rm mV$:
$$y_2(t) = {1.938 \,\rm V} \cdot \cos(\omega_0 t) - {0.234 \,\rm V} \cdot \cos(2\omega_0 t) + {0.058 \,\rm V} \cdot \cos(3\omega_0 t) -{0.018 \,\rm V} \cdot \cos(4\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}...$$
Es ist offensichtlich, dass der Index „1” bzw. „2” jeweils die normierte Amplitude des Eingangssignals kennzeichnet.
Dieses System soll anhand des im Quantitatives Maß für die Signalverzerrungen definierten Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnisses $$\rho_{\rm V} = { P_{x}}/{P_{\rm V}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot \lg \hspace{0.1cm}\rho_{\rm V} = 10 \cdot \lg \hspace{0.1cm}{ P_{x}}/{P_{\rm V}}\hspace{0.3cm} \left( {\rm in \hspace{0.15cm} dB} \right)$$
sowie des Klirrfaktors $K$ analysiert werden:
- $P_x$ bezeichnet die Leistung des Eingangssignals,
- die so genannte Verzerrungsleistung $P_{\rm V}$ gibt jeweils die Leistung (den quadratischen Mittelwert) des Differenzsignals $\varepsilon(t) = y(t) - x(t)$ an.
Zur Bestimmung dieser Leistungen muss jeweils über die quadrierten Signale gemittelt werden. Einfacher ist in dieser Aufgabe jedoch die Leistungsberechnung im Frequenzbereich.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Nichtlineare Verzerrungen.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Alle hier abgefragten Leistungen beziehen sich auf den Widerstand $R = 1 \ \rm \Omega$ und haben somit die Einheit ${\rm V}^2$
Fragebogen
Musterlösung
(2) Für die Eingangsamplitude $A_x = 2 \ \rm V$ (untere Skizze) lauten die verschiedenen Klirrfaktoren:
$$K_2 = \frac{0.234 \,\,{\rm V}}{1.938 \,\,{\rm V}} \approx 0.121,
\hspace{0.5cm} K_3 = \frac{0.058 \,\,{\rm V}}{1.938 \,\,{\rm V}}
\approx 0.030, \hspace{0.5cm}K_4 = \frac{0.018 \,\,{\rm V}}{1.938
\,\,{\rm V}} \approx 0.009.$$
Somit lautet der Gesamtklirrfaktor: $$K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2 + K_4^2 + ... }\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 12.5 \%}.$$
(3) Richtig sind hier die beiden ersten Lösungsvorschläge:
- Hier bewirken die nichtlinearen Verzerrungen, dass die untere Halbwelle spitzförmiger verläuft als die obere. Da zudem $y(t)$ gleichsignalfrei ist, gilt $y_{\rm max} = 1.75 \ \rm V$ und $y_{\rm min} = -2.25 \ \rm V$. Die Symmetrie bezüglich der Nulllinie ist somit nicht mehr gegeben.
- Bei einem nichtlinearen System ist der Klirrfaktor $K$ unabhängig von der Frequenz des cosinusförmigen Eingangssignals, aber stark abhängig von dessen Amplitude.
(4) Der Effektivwert eines Cosinussignals ist bekanntlich das $\sqrt{0.5}$–fache der Amplitude. Das Quadrat hiervon bezeichnet man als die Leistung:
$$P_x = \frac{A_x^2}{2} = \frac{(2 \,{\rm V})^2}{2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2\,{\rm V^2}}.$$
Eigentlich hängt die Leistung ja auch vom Bezugswiderstand $R$ ab und besitzt die Einheit „Watt”. Mit $R = 1 \ \rm \Omega$ ergibt sich $P_x = 2 \ \rm W$, also der geanau gleiche Zahlenwert wie bei dieser einfacheren Berechnung.
(5) Bezeichnet man mit $A_1$ die Amplitude der Grundwelle von $y_2(t)$ und mit $A_2$, $A_3$ und $A_4$ die so genannten Oberwellen, so erhält man für die Verzerrungsleistung durch Berechnung im Frequenzbereich:
$$P_{\rm V} = \frac{1}{2} \cdot \left[ (A_1 - A_x)^2 + A_2^2+
A_3^2+ A_4^2\right] = \frac{1}{2} \cdot \left[ (-2
\,{\rm V} \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}1.938 \,{\rm V} )^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.234 \,{\rm V})^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.058 \,{\rm V})^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.018
\,{\rm V})^2 \right] \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.031 \,{\rm V}^2}.$$
Hierbei bezeichnet $A_x$ die Amplitude des Eingangssignals. Die Vorzeichen der Oberwellen spielen bei dieser Berechnung keine Rolle.
(6) Mit den Ergebnissen der Unterpunkte (4) und (5) erhält man:
$$10 \cdot \lg \rho_{V} = 10 \cdot \lg \frac{P_x}{P_{\rm V}}= 10
\cdot \lg \frac{2.000\,{\rm V^2}}{0.031 \,{\rm V}^2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 18.10
\,{\rm dB}}.$$
(7) Die erste Aussage ist richtig, denn es gilt:
- $$K^2 = \frac{A_2^2 + A_3^2 + A_4^2 + ... }{A_1^2}.$$
Dagegen gilt für den Kehrwert des Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnisses: $${1}/{\rho_{\rm V}} = \frac{(A_1 - A_x)^2+A_2^2 + A_3^2 + A_4^2 + ... }{A_x^2}.$$
Bei der Berechnung der Verzerrungsleistung $P_{\rm V}$ wird auch eine Verfälschung der Grundwellenamplitude (diese ist nun $A_1$ anstelle von $A_x$ berücksichtigt. Außerdem wird die Verzerrungsleistung nicht auf $A_1^2$, sondern auf $A_x^2$ bezogen.
Allgemein gilt zwischen dem Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis und dem Klirrfaktor folgender Zusammenhang: $${\rho_{\rm V}} = \frac{A_x^2}{(A_1 - A_x)^2 + K^2 \cdot A_1^2}.$$
Mit $A_1 = A_x$ vereinfacht sich diese Gleichung wie folgt:
- $${\rho_{\rm V}} = {1}/{ K^2 }.$$
Anmerkungen:
- Ein Klirrfaktor von $1\%$ entspricht in diesem Fall dem Ergebnis $10 \cdot \lg \rho_{V} = 40 \,{\rm dB}$.
- Mit dem Klirrfaktor $K = 0.125$ aus Teilaufgabe /2) hätte man mit der Näherung $A_1 \approx A_x$ sofort $10 \cdot \lg \rho_{\rm V} = 18.06 \,{\rm dB}$ erhalten.
- Der unter Punkt (7) errechnete tatsächliche Wert ($18.10 \ \rm dB$) weicht hiervon nicht all zu sehr ab.
Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 3.
